Los límites pueden tener diferentes significados. La mayoría de ellos son bastante intuitivos, así que supongo que esto se relaciona con límites en el cálculo o límites de secuencias.
Está claro de lo anterior que diferentes personas se acercan a los límites de diferentes maneras. Para el concepto subyacente de cálculo, personalmente encontré que el enfoque de los griegos (antiguos) al área de un círculo es un punto de partida útil. Es equivalente a los diagramas de área de Carter McClung, pero más concreto.
La pregunta: usted define pi en términos de que la circunferencia de un círculo sea 2 * pi * r; cual es su area Cpmpas, regla, lápiz y papel pueden ayudar con esto. Como primera prueba, divida el círculo en (arbitrariamente) seis sectores iguales, y luego dibuje el triángulo más grande dentro de cada sector que pueda. Puede ver que el triángulo es más pequeño que el sector en el que se encuentra dentro, y que la longitud de la línea recta cerca de la circunferencia (= L) es más corta que la trayectoria circular a su alrededor. El área total dentro de los triángulos es la suma de la longitud de los lados L (llame a esto “S”). El área total dentro de los triángulos es menor que r * S / 2. Ahora biseca los sectores. Puedes ver que el espacio fuera de los triángulos es más pequeño, y que la longitud de las líneas es algo más de la mitad del original y, por lo tanto, más cercana a la longitud de la circunferencia, y el área total dentro de los triángulos está más cerca de r * .S / 2
Entonces, la longitud del camino que rodea los triángulos es más o menos igual a la longitud de la circunferencia, y el área de los triángulos está más cerca del área del círculo.
Bisecta los triángulos nuevamente: la aproximación es mejor.
Qué sucede si sigues haciendo esto: las diferencias se vuelven cada vez más pequeñas. Si lo haces para siempre, se convierten en cero. S se vuelve igual a 2 * pi * r y el área total dentro de los triángulos se vuelve igual a p * r ^ 2. El límite inferior (un significado diferente de límite, por cierto) en el área es, por lo tanto, p * r ^ 2. Los griegos complementaron esto con un límite superior basado en triángulos dibujados fuera del círculo. Límite superior = límite inferior = trabajo realizado.
Esta técnica puede considerarse como el límite a medida que el número de divisiones se aproxima al infinito, o (más comúnmente para el cálculo) el límite a medida que el tamaño de los sectores individuales se aproxima a cero).
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Los griegos también tenían el concepto de una tangente a una curva. Una forma de ver esto es como el límite de una línea que cruza la curva ya que el espacio entre los puntos que cruzan la curva se reduce a la mitad repetidamente, o el límite a medida que el espacio tiende a cero. (Tenga en cuenta que si los puntos son realmente coincidentes, la dirección de la línea no está definida, lo que ilustra la diferencia en efecto de ser cero y tender a cero)
Otro límite es el valor límite de una serie. Por ejemplo (citado anteriormente) el valor de la serie 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + en el enésimo término es 2 – 1/2 ^ (N-1). Entonces, a medida que aumentamos el número de términos sumados, el valor se acerca cada vez más a 2. De hecho, sin embargo, si se especifica una pequeña diferencia de 2, puede encontrar una longitud de serie más allá de la cual la diferencia real siempre es menor. El límite a medida que el número de términos se acerca al infinito es, por lo tanto, 2. Por cierto, la restricción es “el error se vuelve menor que” se conoce como convergencia. La mayoría de las series (no todas *) con límites son convergentes.
Notas al pie:
a) En el ejemplo del maestro travieso: nunca golpeas la pared si los medios pasos toman el mismo tiempo. Si cada uno de los pasos toma un tiempo cada vez más corto, golpeará la pared en el momento correspondiente a la serie infinita de tiempos para los pasos.
b) Una rareza relativamente avanzada (y potencialmente inicialmente confusa):
Para mostrar un ejemplo de una serie no convergente que tiene un límite si se define adecuadamente:
Considere la serie 1 – (1-delta) + (1-delta) ^ 2 -… + (-1 + delta) ^ (N-1) +…
El valor para esto en el enésimo término es: (1 – (-1 + delta) ^ N) / (2-delta).
A medida que reducimos el delta (otro límite), este valor tiende a 1/2 (aunque necesitamos definir las medidas de error de la manera correcta para que esto funcione).
Pero la serie limitante cuando el delta va a cero es: 1–1 + 1–1 + 1-…, que claramente no converge.
Tenga en cuenta que también podría definir una serie 1–1 + 1–1- … ya que el límite como (-delta) va a cero. Esta serie no tendría un valor límite.
Moraleja: los casos limitantes necesitan una definición cuidadosa
