Cómo calcular la curva integral

No da la dirección de integración en su curva. En aras de la definición, asumiremos una dirección antihoraria, como a continuación:

Dado que [math] f (x, y) [/ math] depende solo de [math] x [/ math], la integral de [math] f (x, y) [/ math] sobre [math] C_2 [/ math ] será [matemática] \ sqrt {2} [/ matemática] multiplicada por la integral sobre [matemática] C_1 [/ matemática], y esa sobre [matemática] C_3 [/ matemática] será cero. Entonces, al final, la integral se reduce a

[matemáticas] \ displaystyle (1 + \ sqrt {2}) \ int_0 ^ 3 \ sin (\ pi x) \ mathrm {d} x = – \ left. \ dfrac {1 + \ sqrt {2}} {\ pi } \ cos (\ pi x) \ right | _0 ^ 3 = (1 + \ sqrt {2}) \ dfrac {2} {\ pi} [/ math]

La calculadora me dice que esto es aproximadamente [matemáticas] 1.53693608852 [/ matemáticas].

Actualización : correcciones realizadas después de los punteros del usuario de Quora.

El elemento de longitud [math] ds = \ sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2}} [/ math].

En la curva [matemáticas] C_ {1}, x = 3t, y = 0, 0 \ leq t \ leq 1 [/ matemáticas]. Entonces, [matemática] dx = 3dt [/ matemática], [matemática] dy = 0 [/ matemática], [matemática] ds = 3dt [/ matemática], de modo que [matemática] \ int_ {C_ {1}} f ds = \ int_ {t = 0} ^ {1} \ sin \ pi (3t) 3dt = \ frac {2} {\ pi} [/ math].

En curva [matemática] C_ {2} [/ matemática], [matemática] x = 3–3t [/ matemática], [matemática] y = 3t [/ matemática], [matemática] 0 \ leq t \ leq 1 [/ matemáticas]. Entonces, la ecuación de [math] C_ {2} [/ math] es [math] x = 3-y [/ math]. Aquí, [math] dx = -3dt [/ math], [math] dy = 3dt [/ math], [math] ds = \ sqrt {18} dt [/ math], de modo que [math] \ int_ {C_ {2}} fds = \ int_ {t = 0} ^ {1} \ sin \ pi (3–3t) \ sqrt {18} dt = \ frac {2 \ sqrt {2}} {\ pi} [/ math ]

En la curva [matemática] C_ {3} [/ matemática], [matemática] x = 0 [/ matemática]. Entonces [math] f = \ sin \ pi x = 0 [/ math] junto a [math] C_ {3} [/ math]. Por lo tanto, [math] \ int_ {C_ {3}} fds = 0 [/ math].

Respuesta: [matemáticas] \ frac {2} {\ pi} + \ frac {2 \ sqrt {2}} {\ pi} + 0 = \ frac {2} {\ pi} (1+ \ sqrt {2}) [/matemáticas].

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