Hay un buen tratamiento de cuatro vectores para esto.
Consideramos el momento 4-vector del electrón inicial:
[matemáticas] P ^ {\ mu} _ {e} = (\ frac {E} {c}, p, 0,0) [/ matemáticas]
- ¿Cómo sería una esfera de electrones de un metro de ancho?
- Física: ¿Qué fuerza actúa sobre el electrón 1 (en x, y, z)?
- ¿Los electrones necesitan viajar a través de un medio?
- ¿Cuál es el orden de magnitud de la velocidad promedio de los electrones que forman el "mar de electrones" de un metal?
- ¿Por qué el campo eléctrico se opone al movimiento de electrones?
Donde le hemos dado al electrón algo de impulso y energía arbitrarios en el marco del laboratorio, y alineado los ejes de tal manera que el momento esté alineado a lo largo del eje x.
Ahora consideramos el impulso de los dos productos de esta hipotética decadencia: un solo fotón y el electrón original. El electrón se desvió de su curso y cambió la energía, por lo que lo escribimos como:
[matemáticas] P ‘^ {\ mu} _ {e} = (\ frac {E’} {c}, \ vec {p ‘}) [/ matemáticas]
Donde la ‘notación indica que ha cambiado de valor (pero realmente no nos importa cuál sea ese valor)
El fotón se emite en un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] con respecto al eje, por lo que usando ese [matemático] E = pc [/ matemático] para un fotón, obtenemos simplemente:
[matemáticas] P ^ {\ mu} _ {\ gamma} = \ frac {E _ {\ gamma}} {c} (1, \ cos {\ theta}, \ sin {\ theta}, 0) [/ math]
Entonces podemos invocar la conservación de 4 momentos:
[matemáticas] P ^ {\ mu} _ {e} = P ‘^ {\ mu} _ {e} + P ^ {\ mu} _ {\ gamma} [/ matemáticas]
Luego reorganizamos para obtener:
[matemáticas] P ‘^ {\ mu} _ {e} = P ^ {\ mu} _ {e} – P ^ {\ mu} _ {\ gamma} [/ matemáticas]
Luego usamos el hecho de que los 4 vectores tienen una propiedad especial: cuando los cuadras usando la métrica de Minkowski, obtienes una propiedad invariante de Lorentz. Por 4 momentos , obtienes:
[matemáticas] P ^ {\ mu} _i \ cdot P ^ {\ mu} _i = -m_i ^ 2 c ^ 2 [/ matemáticas]
Por lo tanto, tenemos:
[matemáticas] P ‘^ {\ mu} _ {e} \ cdot P’ ^ {\ mu} _ {e} = (P ^ {\ mu} _ {e} – P ^ {\ mu} _ {\ gamma }) \ cdot (P ^ {\ mu} _ {e} – P ^ {\ mu} _ {\ gamma}) [/ math]
Aplicando nuestros invariantes, obtenemos:
[matemáticas] -m_e ^ 2 c ^ 2 = -m_e ^ 2 c ^ 2 – m _ {\ gamma} ^ 2c ^ 2 – 2P ^ {\ mu} _ {e} \ cdot P ^ {\ mu} _ {\ gamma} [/ matemáticas]
Sin embargo, los fotones no tienen masa – [matemática] m _ {\ gamma} = 0 [/ matemática]
Por lo tanto, cancelando todo, la conservación del impulso 4 da:
[matemáticas] P ^ {\ mu} _ {e} \ cdot P ^ {\ mu} _ {\ gamma} = 0 [/ matemáticas]
Mirando hacia atrás a nuestras definiciones de los 4 momentos (y haciendo el producto interno Minkowski), tenemos:
[matemáticas] P ^ {\ mu} _ {e} \ cdot P ^ {\ mu} _ {\ gamma} = \ frac {-E \ cdot E _ {\ gamma}} {c ^ 2} + \ frac {p \ cdot E _ {\ gamma}} {c} \ cos {\ theta} = 0 [/ math]
Reorganizamos esto nuevamente:
[matemáticas] E _ {\ gamma} (E – pc \ cdot \ cos {\ theta}) = 0 [/ matemáticas]
Sin embargo, si recordamos algunas identidades:
[matemáticas] E = \ sqrt {m ^ 2c ^ 4 + c ^ 2p ^ 2} \ to E> pc [/ matemáticas]
Y desde [matemáticas] | \ cos {\ theta} | \ leq 1 [/ math], los corchetes no pueden ser cero .
Por lo tanto, la única solución posible es para [matemáticas] E _ {\ gamma} = 0 [/ matemáticas]
Dado que un fotón sin energía es lo mismo que ningún fotón …
Para conservar el impulso de 4, cualquier fotón debe tener energía cero, o en otras palabras, es una situación imposible.
Los 4 vectores son una locura útil, hombre.
