¿No estás muy seguro de lo que quieres decir con “solo colapso”? Quizás te refieres a “¿Por qué la espiral de electrones no llega al núcleo?” Para responder a esto último, debes revisar algunos mecanismos cuánticos básicos.
El estado 1s es el estado de energía más bajo permitido del átomo H a -13.6eV, que es (menos) la energía de ionización del electrón 1s. Entonces, quizás una pregunta más esclarecedora es ¿POR QUÉ un sistema cuántico encuadernado tiene un estado de energía más bajo? La respuesta se puede encontrar al observar las dos contribuciones a la energía total, teniendo en cuenta la relación de incertidumbre de Heisenberg.
Como primer ejemplo, escribamos la relación de incertidumbre de Heisenberg como producto
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- ¿Para qué sirve el gas hidrógeno?
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[matemáticas] \ langle x ^ 2 \ rangle \ langle p ^ 2 \ rangle \ ge \ hbar ^ 2/4 [/ math]
asumiendo que nuestro sistema tiene prom. momento de 0 y es simétrico sobre el origen. Consideremos un sistema que satisfaga mínimamente la relación de Heisenberg para que
[matemáticas] \ langle p ^ 2 \ rangle \ approx \ frac {\ hbar ^ 2} {4 \ langle x ^ 2 \ rangle} [/ math]
Dado que la energía total (para un sistema 1d) está dada por
[matemáticas] E = \ langle H \ rangle \ approx \ frac {1} {2m} \ frac {1} {4 \ langle x ^ 2 \ rangle} + \ langle V \ rangle [/ math]
Como asumimos que el sistema es simétrico (y limitado) sobre x = 0, y expandimos V (x) en potencias pares de [matemáticas] \ langle x ^ 2 \ rangle. [/ Matemáticas]
Entonces la energía es
[matemáticas] E \ aprox. \ frac {1} {2m} \ frac {1} {4 \ langle x ^ 2 \ rangle} + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty V_n \ langle x ^ 2 \ rangle ^ n [/matemáticas]
En resumidas cuentas, si intentamos localizar la función de onda espacial, puede disminuir el promedio. energía potencial, también aumentará el promedio. Energía cinética de la partícula. El estado de energía más bajo es entonces un compromiso entre minimizar el potencial (más función de onda local) ly la energía cinética (función de onda más amplia).
Consideremos el oscilador armónico cuántico con hamiltoniano
[matemática] H = – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ parcial x ^ 2} + \ frac {k} {2} x ^ 2 [/ matemática]
Suponga que tiene una función de onda de prueba (conjetura) parametrizada por un solo parámetro [math] \ lambda [/ math] como
[matemáticas] \ psi = \ left (\ frac {\ lambda} {\ pi} \ right) ^ {1/4} \ exp [- \ lambda x ^ 2/2] [/ math]
y calculamos [matemáticas] \ langle E \ rangle [/ matemáticas], como
[matemáticas] E = \ frac {1} {2m} \ langle p ^ 2 \ rangle + \ frac {k} {2} \ langle x ^ 2 \ rangle [/ math]
que resulta ser
[matemáticas] E = \ frac {\ hbar ^ 2 \ lambda} {4m} + \ frac {k} {4 \ lambda} [/ matemáticas]
Ahora, encuentre [math] \ lambda [/ math] que le da una energía mínima: debe encontrar que [math] \ lambda = \ sqrt {km} / \ hbar [/ math] con una energía de [math] \ hbar \ omega / 2 [/ math] (y [math] \ omega = mk ^ 2 [/ math] es la frecuencia armónica).
Este estado también satisface mínimamente la relación de incertidumbre de Heisenberg ya que
[matemáticas] \ Delta x. \ Delta p = \ hbar / 2 [/ matemáticas]
La lección es que CUALQUIER otra opción en estado fundamental conduciría a un INCREMENTO en la energía del estado.
Segundo, digamos que elegimos un estado de prueba diferente, esta vez
[matemáticas] \ phi = \ left (\ frac {2} {\ pi} \ right) ^ {1/2} \ frac {\ gamma ^ {3/4}} {x ^ 2 + \ gamma} [/ math ]
y calcular el valor esperado de energía
[matemáticas] E = \ frac {\ hbar ^ 2} {4 m \ gamma} + \ frac {1} {2} m \ gamma \ omega ^ 2 [/ matemáticas]
y determine el valor de [math] \ gamma [/ math] que minimiza la energía: [math] \ gamma = \ hbar / (\ sqrt {2} m \ omega) [/ math]
En este caso, obtienes [math] E = \ hbar \ omega / \ sqrt {2} [/ math] que es mayor que la energía que obtuve con la otra opción de función de onda (que resulta ser la solución exacta de oscilador armónico cuántico). Ahora, calcule el producto de incertidumbre dada su función de onda de prueba:
[matemáticas] \ Delta x. \ Delta p = \ hbar / \ sqrt {2}> \ hbar / 2 [/ matemáticas]
Puede probar esto con otros sistemas también.
