La suma de los ángulos de un triángulo es [matemática] \ pi [/ matemática] radianes, entonces ¿por qué debería [matemática] \ pi [/ matemática] tener el mismo valor en lugares donde el espacio tiene una curvatura diferente?

La suma de los ángulos interiores de un triángulo en un espacio euclidiano es de hecho [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] radianes. Pero esta es más o menos una forma de definir un espacio para ser euclidiano.

Como otros han señalado, la definición de la constante matemática [math] \ pi [/ math] no se basa de ninguna manera en las coordenadas espaciales de nada ni de nadie. Es puramente abstracto (como lo son los triángulos, pero eso es, bueno … es el mismo asunto, realmente, pero su relación con lo que podemos hacer en el espacio-tiempo es un asunto diferente).

Si todos los triángulos en todas partes en un espacio tienen una suma de ángulo interior igual a [math] \ pi [/ math], entonces eso hace que el espacio sea plano – Euclidiana. El valor de la suma de los ángulos interiores en espacios no planos depende de la curvatura local en los vértices y el tamaño del triángulo (si la curvatura es constante, solo el tamaño) y [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] aparece en esa fórmula, pero la suma de los ángulos de un triángulo no se define como [matemática] \ pi [/ matemática], ni [matemática] \ pi [/ matemática] se define por la suma de ángulos de un triángulo en ningún espacio.

La suma de los ángulos de un triángulo es [matemática] \ pi [/ matemática] radianes, entonces ¿por qué debería [matemática] \ pi [/ matemática] tener el mismo valor en lugares donde el espacio tiene una curvatura diferente?

La suma de los ángulos medidos de un triángulo físico depende de la curvatura del espacio, por lo que no es necesariamente [matemática] 180 ^ {\ circ} = \ pi [/ matemática] radianes.

[math] \ pi [/ math] en sí es una constante matemática , al igual que [math] 3 [/ math] o [math] \ sqrt2 [/ math]. Las constantes matemáticas son completamente independientes de la física, incluida la curvatura del espacio. El hecho de que [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] está relacionado con la geometría y es igual a la razón de la circunferencia de un círculo euclidiano a su diámetro es un teorema matemático que no tiene nada que ver con la física.

Hay muchas definiciones equivalentes para pi, ninguna de las cuales depende de la curvatura local del espacio. Puede tener una definición puramente algebraica para pi, p. Ej. 4/1 – 4/3 + 4/5 – 4/7 …

O puede tener una definición geométrica, como “la suma de los ángulos en un triángulo rectángulo en un plano euclidiano”. De donde puede derivar la definición puramente algebraica dada anteriormente.

Independientemente de cuál elija, pi es un número y solo un número. Resulta muy conveniente para hacer física en superficies planas. También resulta increíblemente conveniente para definir fenómenos cíclicos como los osciladores, que no tienen nada que ver con la geometría local del espacio.

Debido a eso, es dieciocho kajillion veces más fácil hacer física en una formulación donde el número es constante y los triángulos en superficies no planas no suman 180 grados = pi. Incluso si dejas que pi varíe con el espacio, (a) aún no te daría una manera fácil de hacer triángulos, ya que incluso los triángulos superpuestos tendrían diferentes valores de “pi”, y (b) aún necesitarías una constante número para un ciclo completo de un oscilador armónico.

Da la casualidad de que es más fácil suponer que el universo es plano, sobre espacios muy pequeños, y resumiendo todo el espacio. Para el espacio plano, pi describe triángulos. Para el espacio más grande, necesita algo mucho más complicado, como un tensor. Y es mucho más fácil no meterse con la constante.

Resulta que en un universo aparentemente plano (euclidiano) como el nuestro, necesitarías definir tres vértices de un triángulo realmente grande para medir cualquier desviación en los ángulos de tu triángulo. Había un libro de Michio Kaku, si mal no recuerdo, que daba una buena estimación de la medida de este problema.

[matemática] π_0 [/ matemática] para el espacio euclidiano sería lo mismo, pero para el espacio curvo π, si se toma estrictamente como la razón de la circunferencia al diámetro de un círculo, variará. Vea: la respuesta de Mark Garrett a Suponiendo que existe un multiverso, ¿puede [math] \ pi [/ math] ser diferente en otros universos?

. . . No es que alguien realmente varíe el valor de π, no valdría la pena la confusión.

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