Spin es una forma de momento angular para una sola partícula. Hay algunos aspectos del giro que ayudan a crear algunas dificultades para comprenderlo. Cuando las personas escuchan por primera vez que una partícula como un electrón tiene un giro, es natural que tengan una imagen mental de una partícula que de alguna manera gira como una pequeña parte superior. Por lo tanto, las explicaciones a menudo señalan el hecho de que no es así. Luego se descubre que el giro tiene que ver con los grados adicionales de libertad de la partícula, que son propiedades que tiene además de la posición. Pero, a veces, esto crea un tipo diferente de confusión en el que se pierde el hecho de que todavía es un momento angular.
Entonces, primero piense un poco sobre el momento angular en general. Quizás haya oído hablar de variables conjugadas como tiempo y energía, o posición e impulso. Si aplica un pequeño cambio en el tiempo al estado que se encuentra en un estado donde la energía tiene una pequeña incertidumbre, se transforma de acuerdo con la ecuación de Schroedinger (ecuación de Schrödinger – Wikipedia) donde H es el hamiltoniano, la energía del sistema. Con una energía que tiene una baja incertidumbre, el nuevo estado es aproximadamente el estado anterior rotado en fase por un número de ciclos igual al producto de la energía y el tiempo dividido por la constante de Planck. Del mismo modo para la posición y el impulso; si traducimos un estado que es una aproximación cercana a un momento dado, lo que obtenemos es cercano al estado original rotado en fase por un número de ciclos igual al producto de punto del vector de traducción por el momento, dividido por la constante de Planck. La razón por la que digo “aproximadamente” aquí es que la mayor parte del tiempo no es posible un estado exacto de energía o momento, pero si un estado tiene una energía o momento con solo una pequeña incertidumbre, también se comportará aproximadamente de esta manera.
Cuando las transformaciones (como las traducciones) son simetrías de la física del sistema, se conserva la cantidad asociada (como el momento).
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Con el momento angular, la situación es un poco diferente porque tiene un espectro discreto y los estados se pueden descomponer como superposiciones de estados que tienen momentos angulares exactos, por lo que no necesito seguir calificándolo con “aproximadamente”. En general, no existe una “posición angular”, pero hay transformaciones asociadas con el momento angular de la misma manera que las traslaciones en el espacio están asociadas con el momento simple: rotaciones. Si giramos una partícula, su estado cambia de una manera que está asociada con su momento angular. Creo que puede ser un poco confuso lo que significa rotar una partícula, ya que no es como si tuviera manijas pequeñas que podríamos agarrar para girarla. Me pareció útil pensar en lugar de cómo cambia la descripción matemática de su estado cuando hacemos un cambio de coordenadas. Si describimos el mismo estado desde el punto de vista de un sistema rotatorio de coordenadas, lo que obtenemos es lo mismo que una representación del estado de la partícula si se rotara en sentido opuesto.
Hay una arruga adicional debido al hecho de que la fase general de la función de onda (como se usa en la ecuación de Schroedinger) es irrelevante. Multiplicar la función de onda completa por una constante [matemáticas] e ^ {i \ theta} [/ matemáticas] le da una función de onda equivalente. De alguna manera, este es un tecnicismo irritante, porque significa que cada vez que nos referimos a la forma en que se transforma la función de onda tenemos que tener en cuenta este tipo de libertad. Los matemáticos que hablan de física cuántica a menudo se refieren en este punto a transformaciones proyectivas, que son transformaciones lineales pero donde dos se consideran iguales si una constante no nula multiplicada por una da la otra. A veces, sin embargo, esta complicación adicional se puede esquivar. A veces, cuando necesitamos transformaciones proyectivas, podemos usar las transformaciones lineales correspondientes seleccionadas de manera que siempre que necesitemos que dos de ellas sean iguales como transformaciones proyectivas, resulta que la constante es solo 1, por lo que ya son iguales como transformaciones lineales. Entonces podremos pretender que el problema técnico no estaba allí para empezar.
En el caso del momento angular, este tipo de esquivar se acerca al trabajo. Idealmente para cada rotación [matemática] R [/ matemática] tendríamos una transformación lineal asociada [matemática] T_R [/ matemática] de la función de onda (para un estado cuántico puro) con el siguiente tipo de propiedad de compatibilidad. Si [matemática] R_1 [/ matemática] y [matemática] R_2 [/ matemática] son dos rotaciones, y [matemática] R_1 R_2 [/ matemática] la rotación obtenida aplicando primero [matemática] R_1 [/ matemática] y luego [matemática] ] R_2 [/ math], nos gustaría que [math] T_ {R_1 R_2} [/ math] sea igual a [math] T_ {R_1} T_ {R_2} [/ math], pero a veces es el signo opuesto. Cambiar el signo en una función de onda le da otra función de onda para el mismo estado, por lo que esto es lógicamente coherente, pero algo inconveniente matemático. A veces, esta dificultad se describe informalmente al decir que si gira una partícula 360 grados, a veces en lugar de volver a ser la misma, vuelve con el signo opuesto.
El hecho de que no necesita ser nada más que la misma fase o la fase opuesta de 180 grados tiene que ver con un hecho geométrico lindo sobre el espacio de las rotaciones. Esto se ilustra con este pequeño baile: truco de copa balinesa / truco de velas / demostración de spinor. Si pensamos que todas las rotaciones posibles son en sí mismas un espacio abstracto, el camino a través del cual se traza haciendo dos rotaciones completas puede deformarse continuamente en el camino donde no hacemos rotaciones y simplemente permanecemos. Hablando informalmente, esto se describe al decir que dar a una partícula dos rotaciones completas tiene que devolverla a su estado original (sin cambios en la fase), lo que equivale a decir que una rotación completa te deja con el original o el original. con un cambio de 180 grados en fase.
Una forma de lidiar con esto es considerar un tipo de conjunto enriquecido de rotaciones, donde cada rotación original está asociada con dos transformaciones. La asociación se conoce como una “doble cubierta”. El grupo de cobertura conocido como [matemática] SU (2) [/ matemática] es el conjunto de transformaciones lineales en un espacio que es bidimensional pero con ambos números complejos de coordenadas, donde las transformaciones también deben ser unitarias (U) y tener determinante 1 (Especial). Tiene un mapa 2 a 1 a [matemáticas] SO (3) [/ matemáticas] que es el grupo de rotaciones.
Análogamente a otras variables, entonces, decimos que un sistema tiene un momento angular dado si cuando lo rotamos en un cierto ángulo, cambia en fase por un número de ciclos igual al producto del momento angular y el ángulo, dividido por La constante de Planck [matemáticas] h [/ matemáticas]. Ahora, si el ángulo es una rotación completa de 360 grados, que es [matemática] 2 \ pi [/ matemática] radianes, entonces el producto debe ser un múltiplo, no necesariamente de [matemática] h [/ matemática] sino de [matemática] h / 2 [/ matemáticas]. El cociente de [math] h [/ math] por [math] 2 \ pi [/ math] generalmente se denota como “h-bar”, por lo que se dice que el momento angular se cuantifica en múltiplos de la mitad de h-bar.
Spin es entonces la parte del momento angular que no proviene solo de la parte de posición de la función de onda. Dada una función de onda para una partícula, siempre podemos colapsarla a una función de onda de un solo componente, que básicamente es pretender que no tiene ningún otro grado de libertad. Los cursos introductorios de mecánica cuántica a menudo funcionan con este modelo porque es más simple. Es para tratar la partícula como una partícula “spin 0”. El momento angular de este modelo simplificado de la partícula se llama momento angular “orbital”.
Sin embargo, a diferencia del momento angular total, no se conserva. Una partícula con espín no actúa como una partícula sin espín que tiene información adicional relacionada con el espín que guarda debajo de la mesa. Hay una interacción entre los dos. Los dos tipos de momento angular a veces se convierten entre sí. El hecho de que el momento angular del giro es en realidad momento angular está asociado con el hecho de que esta información “adicional” sobre la partícula también se transforma por rotaciones, donde por las razones técnicas anteriores, a menudo se desea considerar las transformaciones por [matemáticas] SU (2) ) [/ math] en su lugar.
Hay varias direcciones que puede seguir para completar los detalles de lo que bosquejé arriba o para elaborarlo. Para algunas personas, el siguiente aspecto a tener en cuenta sería la ecuación de Dirac, que fue importante en física para una cosa al producir un modelo más preciso del átomo de hidrógeno, con los detalles de los niveles de energía dependiendo del hecho de que el electrón en órbita tiene spin 1/2. Los matemáticos a menudo proceden en este punto para aprender la teoría de la representación de [matemática] SU (2) [/ matemática] (las posibles formas en que se puede asociar con transformaciones lineales en algún espacio) que de alguna manera es relativamente ordenada. Un objetivo más difícil es aprender el teorema de la estadística de espín, que explica por qué las partículas con espines enteros (múltiplos enteros de barra h) son bosones y las que tienen espines a medio camino entre enteros son fermiones.
