¿Los físicos alguna vez han asumido la verdad de un teorema que terminó siendo falso? Los ejemplos de teoremas matemáticos que los físicos históricamente dieron por sentado incluyen la convergencia de la serie de Fourier, entre otras cosas.

Muchas veces. La mayoría de las respuestas han sido desde una perspectiva matemática, pero me gustaría ofrecer una perspectiva de física.

Aquí hay algunas aclaraciones de la terminología antes de comenzar.

• Un “teorema” ya se ha demostrado cierto para la mayoría de los casos. Sin embargo, desde el trabajo seminal de Karl Popper, The Logic of Scientific Discovery , los científicos han trabajado bajo el supuesto de que ninguna teoría puede ser probada como verdadera, solo “menos falsa”. Puede ser cierto para un millón de casos, pero se necesita un contraejemplo para requerir una reestructuración importante. Por lo tanto, las teorías no pueden demostrarse verdaderamente “verdaderas”.
• Una “hipótesis” es una creencia que se está poniendo a prueba. Es esencialmente una “teoría” no probada.

Ahora que están fuera del camino, abordo las preguntas. Pregunta si la verdad de un teorema se supone verdadera. Presento dos ejemplos, desde dos perspectivas diferentes, que con suerte arrojarán luz sobre la naturaleza de la pregunta.

En primer lugar, nos fijamos en la mecánica. Desde Sir Isaac Newton, los científicos siempre pudieron predecir el pasado, el presente y el futuro de cualquier objeto en cualquier momento. La mecánica clásica era una ciencia determinista, que tenía sentido independientemente del tiempo y el lugar en el que desea mirar el objeto. Sin embargo, Einstein et. al . entró y comenzó dos grandes revoluciones, la mecánica cuántica y la relatividad, las cuales mostraron que las Leyes de movimiento de Newton no se mantienen en escalas de energía demasiado pequeñas o demasiado grandes. Durante siglos, la gente ha asumido que las leyes de Newton eran universales, hasta que se demostró que en realidad no. En este caso, el “teorema” no se demostró falso, solo se demostró que fallaba en ciertos niveles de energía. Por lo tanto, fue refinado y ampliado para incluir ambos reinos.

A continuación, nos fijamos en la teoría del estado estacionario. Fred Hoyle, entre muchos, consideraba que el universo era estático e inmutable, en oposición al modelo Big Bang propuesto por George Lemaître. Fue tan inflexible al respecto que publicó muchos artículos que establecen una base cosmológica y matemática de la teoría. Sin embargo, después de varias evidencias experimentales (una de las cuales, la CMB, es en lo que estoy investigando ahora), desacreditó la teoría del Estado estacionario y llevó a la teoría del Big Bang a la prominencia. En este caso, la teoría del estado estacionario no estaba respaldada por evidencia experimental y, por lo tanto, la teoría del estado estacionario no era una “teoría” en el sentido más estricto de la palabra, era simplemente una hipótesis que era refutada.

Espero que mi respuesta arroje luz sobre el lado de la pregunta sobre Física, aunque en retrospectiva eso puede no haber estado en el espíritu de la pregunta. Todavía creo que es interesante, no obstante. Gracias por el A2A!

Históricamente, la mayoría de las conjeturas matemáticas asumidas por los físicos tomaron la forma “Sea [matemática] f [/ matemática] una función suficientemente agradable. Entonces X es verdad.

Ya ha dado un ejemplo de tal cosa: deje que [math] f (x) [/ math] sea una función suficientemente agradable, entonces la serie de Fourier de [math] f (x) [/ math] converge a [math] f (x) [/ matemáticas].

Por supuesto, antes de que pueda especular acerca de si esta afirmación es cierta o no, es mejor que dé una definición precisa de lo que significa “suficientemente bueno”. Los físicos casi nunca hacen esto, esa es una tarea que los matemáticos deben resolver.

Algunas veces “suficientemente agradable” significa “varianza acotada”. Algunas veces significa “suave”. Algunas veces significa “analítico”. Algunas veces significa “en [matemáticas] L ^ 2 [/ matemáticas]”. Hay muchas variantes.

Casi universalmente, si encuentra un contraejemplo para el cual X no es cierto, todo lo que significa es que su noción de “suficientemente bueno” no fue lo suficientemente bueno.

Sin embargo, no sé lo suficiente sobre la teoría de campos cuánticos y la teoría de cuerdas para especular si lo mismo será cierto o no allí.

Como una especie de complemento a la respuesta de Senia Sheydvasser, hay otra clase de ejemplos. Nuevamente, no diría que es algo tan duro como un físico suponiendo la verdad de un teorema que resulta ser falso. Pero los físicos a menudo hacen aproximaciones . Estas aproximaciones aclaran algunos fenómenos físicos, pero oscurecen otros fenómenos físicos.

Por ejemplo, los físicos a menudo terminan con ecuaciones diferenciales que involucran un término con [math] \ sin (x) [/ math]. Ese término a menudo es muy molesto, lo que hace que todo sea no lineal y difícil de resolver. Entonces usan una aproximación, [matemática] \ sin (x) \ aprox x [/ matemática]. Esto funciona muy bien para valores pequeños de [math] x [/ math]. (Y los físicos son bastante buenos para asegurarse de que, sea lo que sea [matemática] x [/ matemática], sea “lo suficientemente pequeña” para su contexto). Quizás el mejor ejemplo de esta aproximación sea comprender los osciladores armónicos simples, que a su vez sirven como el “modelo de juguete” para muchos otros fenómenos.

Un ejemplo al otro lado del pasillo son las aproximaciones “malas” que oscurecen la física moderna. La mecánica newtoniana, por ejemplo, no está tan mal como no es exactamente correcta. La mecánica newtoniana puede considerarse como una aproximación a otras teorías modernas, asumiendo los valores de ciertos parámetros (como [math] \ hbar = 0 [/ math], o [math] c = \ infty [/ math], o cosas por el estilo como eso). Obviamente, no hacemos estas aproximaciones intencionalmente. Al menos no en ciencia. (Los ingenieros lo hacen, pero esa es una historia diferente).

Pero a veces, las percepciones físicas no triviales acechan en los límites exteriores donde las aproximaciones comienzan a no ser tan buenas.

¡Buena pregunta!

Respuesta: improbable.

Yo mismo soy un tipo de matemáticas, no un tipo de física. Así que tenlo en cuenta. Pero mi opinión es que los físicos nunca asumen la verdad de un falso teorema. ¿Por qué? Porque ellos (los físicos) no son los tipos que prueban los teoremas en primer lugar, y no asumen teoremas falsos porque tales cosas son un subconjunto adecuado de elementos que las personas de matemáticas llaman conjeturas. Para cuando los físicos “consumen” las matemáticas, los tipos y las dudes de matemáticas han ordenado conjeturas de contraejemplos de teoremas establecidos.

Su ejemplo de Fourier es bueno. Es muy probable que la serie de Fourier haya sido aplicada incorrectamente por algún físico de alguna manera. Errar es humano. Algún tipo o diosa probablemente aplicó la Serie Fourier en una situación donde la convergencia falló. ¿Pero esto supone un falso teorema? No lo creo. Más bien, es una falla al considerar las condiciones bajo las cuales el “teorema” CORRECTO REAL, o fórmula, es válido y, por lo tanto, puede o no puede ser legítimamente empleado.

Juego terminado, ¡salud!

Teorema de Fubini: si [math] f (x, y) [/ math] es medible y [math] \ int_ {X \ times Y} | f (x, y) | \ d (x, y) <\ infty [ / matemáticas] (la condición de Fubini) entonces,

[matemática] \ int_X \ int_Y f (x, y) \ dy \ dx = \ int_Y \ int_X f (x, y) \ dx \ dy [/ math]

Mi profesor de probabilidad graduado nos contó una vez una historia. Trabajó en algún laboratorio. Uno de sus colegas descubrió un teorema y quería que verificara dos veces. Después de revisarlo, encontró que su colega intercambió el orden de una doble integración sin especificar la condición de Fubini. Como matemático, expresó su preocupación. Pero esto enfureció a su colega, quien insistió en que no era necesario. (sí, quién necesita la teoría de la medida).

Entonces, el laboratorio puso a prueba el descubrimiento y descubrió que el experimento falló en un lugar que bien explicado al fallar la condición del Fubini.

Ahora, cada vez que cambio el orden de una doble integración, recordaré especificar la condición de Fubini. (Buen trabajo, profesor)

Al principio del desarrollo de la termodinámica estadística, se creía que los valores observables de las variables termodinámicas deberían calcularse promediando el valor instantáneo de dicha variable en todo momento. Esto presentaba una dificultad matemática considerable, por lo que los promedios de tiempo fueron reemplazados por promedios de conjunto en los que se promediaba un conjunto de sistemas macroscópicamente idénticos en un momento fijo de tiempo. Boltzmann intentó justificar este procedimiento mediante la “hipótesis egódica” que establece que cada sistema pasa el mismo tiempo en todas las regiones del espacio de fases. Pronto se dio cuenta de que la hipótesis ergódica no es generalmente cierta.

Sí, pensaron durante mucho tiempo que se conservaba la paridad. Finalmente, Feynman consiguió que un amigo preguntara en una reunión, si no es así, y eso llevó a algunos experimentadores a probar un extraño experimento con la desintegración beta, donde descubrieron que la paridad estaba rota. Izquierda y derecha no son idénticas, el universo sabe la diferencia. Oppenheimer dijo que casi choca contra una pared cuando escuchó la noticia, fue tan sorprendente e inesperado.

Pero tenga en cuenta que eso NO significa que todos los otros principios bien establecidos también podrían estar equivocados. No use ese caso como punto de partida para volverse loco.

Bueno, durante más de 200 años asumieron que la teoría de la gravedad de Newton era cierta. . . . Entonces llegó Einstein.