Sí, hay construcciones como la línea real proyectada extendida (donde se incorpora con los números reales un igned sin signo, de modo que −∞ = ∞) y números complejos extendidos (la esfera de Riemann donde se incorpora ∞ con los números complejos). Las estructuras como los números reales extendidos y los números surrealistas NO son ejemplos de sistemas que permiten la división por 0.
Sin embargo, antes de entusiasmarse demasiado, todas ellas tienen algunas características muy extrañas si solo está familiarizado con los números reales ordinarios, para los cuales no hay infinito ni división por 0. En cualquier caso, 0/0 permanece indefinido, aunque cualquier valor distinto de cero dividido por 0 se define como ∞. La esfera real y la esfera de Riemann proyectadas no son campos. Hay problemas tan básicos como:
Cierre : ¿Qué es 0 × ∞? El producto de 0 y cualquier número real o complejo es siempre 0, entonces ¿no debería 0 × ∞ ser 0? Sin embargo, si considera que ∞ es el recíproco de 0, entonces 0 × ∞ debería ser 1. Hay un conflicto. ¿Cuál de los dos, si alguno, debería prevalecer? Se deja sin definir. Ahora, el problema ha sido pasar de cómo divido por 0 a cómo multiplico por 0, lo cual, en muchos casos, es un problema peor. También está la cuestión de qué debería ser ∞ – ∞; también se considera indefinido por muy buenas razones.
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Leyes de cancelación : Estamos acostumbrados a las propiedades de los campos que a + c = b + c SIEMPRE significa a = b , y que ac = bc siempre significa a = b a menos que c = 0. Ahora, si permitimos infinitos, ¿qué sucede cuando c = ∞? Tanto ∞ + 1 como ∞ + 2 evalúan a ∞ en los sistemas extendidos, por lo que las dos expresiones son iguales, pero ¿eso significa 1 = 2? Además, 2 × ∞ y 3 × ∞ evalúan a ∞ en los sistemas extendidos, por lo que las dos expresiones son iguales, pero ¿eso significa 2 = 3? Obviamente, no debe, lo que significa que las leyes de cancelación deben ser más complicadas.
Considerar sistemas alternativos a los números reales y complejos estándar puede conducir a algunas estructuras fascinantes para estudiar. Sin embargo, debe estar preparado para un comportamiento muy diferente, que podría o no ser peor que no poder dividir por 0. Tratar de poder dividir por 0 y mantener algunas de las otras propiedades a las que está acostumbrado hará El sistema es muy complicado. Si su intención es simplemente tener una manera fácil de definir la división por 0 sin renunciar a otras propiedades, se sentirá muy decepcionado y simplemente se abrochará y se adherirá a lo que dicen sus maestros y libros de texto; sin embargo, si está interesado en probar sistemas alternativos y explorar cuáles son las consecuencias matemáticas, puede ser un esfuerzo fascinante.
