En la mecánica clásica, el potencial gravitacional en una ubicación es igual al trabajo (energía transferida) por unidad de masa que se necesitaría para mover el objeto desde una ubicación de referencia fija a la ubicación del objeto. Es análogo al potencial eléctrico con la masa desempeñando el papel de carga. La ubicación de referencia, donde el potencial es cero, está por convención infinitamente lejos de cualquier masa, lo que resulta en un potencial negativo a cualquier distancia finita.

En matemáticas, el potencial gravitacional también se conoce como el potencial newtoniano y es fundamental en el estudio de la teoría del potencial. También se puede usar para resolver los campos electrostáticos y magnetostáticos generados por cuerpos elipsoidales polarizados o con carga uniforme.

Trazado de un corte bidimensional del potencial gravitacional dentro y alrededor de un cuerpo esférico uniforme. Los puntos de inflexión de la sección transversal están en la superficie del cuerpo.

El potencial gravitacional ( V ) es la energía potencial gravitacional ( U ) por unidad de masa:

{\ displaystyle V = {\ frac {U} {m}},}

donde m es la masa del objeto. La energía potencial es igual (en magnitud, pero negativa) al trabajo realizado por el campo gravitacional que mueve un cuerpo a su posición dada en el espacio desde el infinito. Si el cuerpo tiene una masa de 1 unidad, entonces la energía potencial que se asignará a ese cuerpo es igual al potencial gravitacional. Por lo tanto, el potencial puede interpretarse como el negativo del trabajo realizado por el campo gravitacional que mueve una unidad de masa desde el infinito.

En algunas situaciones, las ecuaciones pueden simplificarse asumiendo un campo que es casi independiente de la posición. Por ejemplo, en una región cercana a la superficie de la Tierra, la aceleración gravitacional, g , puede considerarse constante. En ese caso, la diferencia en la energía potencial de una altura a otra está, para una buena aproximación, relacionada linealmente con la diferencia de altura:

{\ displaystyle \ Delta U \ approx mg \ Delta h.}

Forma matemática [ editar ]

El potencial V de una unidad de masa m a una distancia x de un punto de masa de masa M puede definirse como el trabajo W que debe realizar un agente externo para llevar la unidad de masa desde el infinito a ese

{\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = {\ frac {W} {m}} = {\ frac {1} {m}} \ int \ limits _ {\ infty} ^ {x} \ mathbf {F } \ cdot d \ mathbf {x} = {\ frac {1} {m}} \ int \ limits _ {\ infty} ^ {x} {\ frac {GmM} {x ^ {2}}} dx = – {\ frac {GM} {x}},}

donde G es la constante gravitacional y F es la fuerza gravitacional. El potencial tiene unidades de energía por unidad de masa, por ejemplo, J / kg en el sistema MKS. Por convención, siempre es negativo donde se define, y cuando x tiende al infinito, se acerca a cero.

El campo gravitacional, y por lo tanto la aceleración de un cuerpo pequeño en el espacio alrededor del objeto masivo, es el gradiente negativo del potencial gravitacional. Por lo tanto, lo negativo de un gradiente negativo produce una aceleración positiva hacia un objeto masivo. Debido a que el potencial no tiene componentes angulares, su gradiente es

{\ displaystyle \ mathbf {a} = – {\ frac {GM} {x ^ {3}}} \ mathbf {x} = – {\ frac {GM} {x ^ {2}}} {\ hat {\ mathbf {x}}},}

donde x es un vector de longitud x que apunta desde el punto de masa hacia el cuerpo pequeño y {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}} es un vector unitario que apunta desde el punto de masa hacia el cuerpo pequeño. La magnitud de la aceleración, por lo tanto, sigue una ley del cuadrado inverso:

{\ displaystyle | \ mathbf {a} | = {\ frac {GM} {x ^ {2}}}.}

El potencial asociado con una distribución de masa es la superposición de los potenciales de masas puntuales. Si la distribución de masa es una colección finita de masas de puntos, y si las masas de puntos se encuentran en los puntos x

, …, x

norte

y tienen masas m

, …, m

norte

, entonces el potencial de la distribución en el punto x es

{\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} – {\ frac {Gm_ {i}} {| \ mathbf {x} – \ mathbf {x_ {i}} |}}.}

Puntos x y r , con r contenido en la masa distribuida (gris) y la masa diferencial dm ( r ) ubicada en el punto r .

Si la distribución de masa se da como una medida de masa dm en el espacio Euclidiano tridimensional R

, entonces el potencial es la convolución de −G / | r | con dm .

[6]

En buenos casos esto es igual a la integral

{\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = – \ int _ {\ mathbf {R} ^ {3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} – \ mathbf {r} |}} \ , dm (\ mathbf {r}),}

donde | x – r | es la distancia entre los puntos xy r . Si hay una función ρ ( r ) que representa la densidad de la distribución en r , de modo que dm ( r ) = ρ ( r ) dv ( r ), donde dv ( r ) es el elemento de volumen euclidiano, entonces el potencial gravitacional es el volumen integral

{\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = – \ int _ {\ mathbf {R} ^ {3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} – \ mathbf {r} |}} \ , \ rho (\ mathbf {r}) dv (\ mathbf {r}).}

Si V es una función potencial que proviene de una distribución de masa continua ρ ( r ), entonces ρ puede recuperarse utilizando el operador de Laplace, Δ:

{\ displaystyle \ rho (\ mathbf {x}) = {\ frac {1} {4 \ pi G}} \ Delta V (\ mathbf {x}).}

Esto es puntual siempre que ρ sea continuo y sea cero fuera de un conjunto acotado. En general, la medida de masa dm puede recuperarse de la misma manera si el operador de Laplace se toma en el sentido de distribuciones. Como consecuencia, el potencial gravitacional satisface la ecuación de Poisson. Ver también la función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables y el potencial newtoniano.

La integral puede expresarse en términos de funciones trascendentales conocidas para todas las formas elipsoidales, incluidas las simétricas y degeneradas.

[7]

Estos incluyen la esfera, donde los tres semiejes son iguales; los esferoides oblatos (ver referencia elipsoide) y prolatos, donde dos semiejes son iguales; los degenerados donde un semiaxis es infinito (el cilindro elíptico y circular) y la lámina sin límites donde dos semiaxis son infinitos. Todas estas formas son ampliamente utilizadas en las aplicaciones de la integral del potencial gravitacional (aparte de la constante G , con una densidad de carga constante) al electromagnetismo.

Simetría esférica [ editar ]

Una distribución de masa esféricamente simétrica se comporta ante un observador completamente fuera de la distribución como si toda la masa estuviera concentrada en el centro y, por lo tanto, efectivamente como una masa puntual, según el teorema de la capa. En la superficie de la tierra, la aceleración viene dada por la llamada gravedad estándar g , aproximadamente 9.8 m / s

, aunque este valor varía ligeramente con la latitud y altitud: la magnitud de la aceleración es un poco mayor en los polos que en el ecuador porque la Tierra es un esferoide achatado.

Dentro de una distribución de masa esféricamente simétrica, es posible resolver la ecuación de Poisson en coordenadas esféricas. Dentro de un cuerpo esférico uniforme de radio R y densidad ρ, la fuerza gravitacional g dentro de la esfera varía linealmente con la distancia r desde el centro, dando el potencial gravitacional dentro de la esfera, que es

[8]

{\ displaystyle V (r) = {\ frac {2} {3}} \ pi G \ rho (r ^ {2} -3R ^ {2}), \ qquad r \ leq R,}

que se conecta de manera diferente a la función potencial para el exterior de la esfera (ver la figura en la parte superior).

Relatividad general [ editar ]

Ver también: aceleración gravitacional § Relatividad general y campo gravitacional § Relatividad general

En la relatividad general, el potencial gravitacional se reemplaza por el tensor métrico. Cuando el campo gravitacional es débil y las fuentes se mueven muy lentamente en comparación con la velocidad de la luz, la relatividad general se reduce a la gravedad newtoniana y el tensor métrico se puede expandir en términos del potencial gravitacional.

[9]

Expansión multipolo [ editar ]

Artículos principales: momentos esféricos multipolares y expansión multipolar

El potencial en un punto x viene dado por

{\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = – \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} – \ mathbf {r} |}} \ dm (\ mathbf {r}).}

Ilustración de una distribución de masa (gris) con centro de masa como el origen de los vectores x y r y el punto en el que se calcula el potencial en la cola del vector x .

El potencial se puede ampliar en una serie de polinomios de Legendre. Representa los puntos x y r como vectores de posición con respecto al centro de masa. El denominador en la integral se expresa como la raíz cuadrada del cuadrado para dar

{\ displaystyle {\ begin {alineado} V (\ mathbf {x}) & = – \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ frac {G} {\ sqrt {| \ mathbf {x} | ^ {2} -2 \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {r} + | \ mathbf {r} | ^ {2}}}} \, dm (\ mathbf {r}) \\ {} & = – {\ frac {1} {| \ mathbf {x} |}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} G \, \ left / \, {\ sqrt {1-2 {\ frac { r} {| \ mathbf {x} |}} \ cos \ theta + \ left ({\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}} \ right) ^ {2}}} \ right. \, dm (\ mathbf {r}) \ end {alineado}}}

donde, en la última integral, r = | r | y θ es el ángulo entre xy r .

El integrando puede expandirse como una serie de Taylor en Z = r / | x |, por cálculo explícito de los coeficientes. Una forma menos laboriosa de lograr el mismo resultado es mediante el uso del teorema binomial generalizado.

[10]

La serie resultante es la función generadora de los polinomios de Legendre:

{\ displaystyle \ left (1-2XZ + Z ^ {2} \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \ = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} Z ^ { n} P_ {n} (X)}

válido para | X | ≤ 1 y | Z | <1. Los coeficientes P

norte

son los polinomios de Legendre de grado n . Por lo tanto, los coeficientes de Taylor del integrando están dados por los polinomios de Legendre en X = cos θ. Por lo tanto, el potencial puede expandirse en una serie que sea convergente para las posiciones x de modo que r <| x | para todos los elementos de masa del sistema (es decir, fuera de una esfera, centrada en el centro de masa, que encierra el sistema):

{\ displaystyle {\ begin {alineado} V (\ mathbf {x}) & = – {\ frac {G} {| \ mathbf {x} |}} \ int \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } \ left ({\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}} \ right) ^ {n} P_ {n} (\ cos \ theta) \, dm (\ mathbf {r}) \\ { } & = – {\ frac {G} {| \ mathbf {x} |}} \ int \ left (1+ \ left ({\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}} \ right) \ cos \ theta + \ left ({\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}} \ right) ^ {2} {\ frac {3 \ cos ^ {2} \ theta -1} {2}} + \ cdots \ right) \, dm (\ mathbf {r}) \ end {alineado}}}

La integral {\ displaystyle \ int r \ cos \ theta dm} es el componente del centro de masa en la dirección x ; esto desaparece porque el vector x emana del centro de masa. Entonces, traer la integral bajo el signo de la suma da

{\ displaystyle V (\ mathbf {x}) = – {\ frac {GM} {| \ mathbf {x} |}} – {\ frac {G} {| \ mathbf {x} |}} \ int \ left ({\ frac {r} {| \ mathbf {x} |}} \ right) ^ {2} {\ frac {3 \ cos ^ {2} \ theta -1} {2}} dm (\ mathbf {r }) + \ cdots}

Esto muestra que el alargamiento del cuerpo causa un potencial más bajo en la dirección del alargamiento y un potencial más alto en direcciones perpendiculares, en comparación con el potencial debido a una masa esférica, si comparamos casos con la misma distancia al centro de masa. (Si comparamos casos con la misma distancia a la superficie , lo contrario es cierto).

Valores numéricos [ editar ]

El valor absoluto del potencial gravitacional en varios lugares con respecto a la gravitación de

[ aclaración necesaria ]

la Tierra, el Sol y la Vía Láctea se dan en la siguiente tabla; es decir, un objeto en la superficie de la Tierra necesitaría 60 MJ / kg para “abandonar” el campo de gravedad de la Tierra, otros 900 MJ / kg para abandonar también el campo de gravedad del Sol y más de 130 GJ / kg para abandonar el campo de gravedad de la Vía Láctea. El potencial es la mitad del cuadrado de la velocidad de escape.

Ubicación

Wrt Earth

Wrt Sun

Vía Láctea

superficie de la Tierra

60 MJ / kg

900 MJ / kg

≥ 130 GJ / kg

LEÓN

57 MJ / kg

900 MJ / kg

≥ 130 GJ / kg

Voyager 1 (17,000 millones de km de la Tierra)

23 J / kg

8 MJ / kg

≥ 130 GJ / kg

0.1 años luz de la Tierra

0.4 J / kg

140 kJ / kg

≥ 130 GJ / kg

Compara la gravedad en estos lugares.

Ver también [ editar ]

Aplicaciones de los polinomios de Legendre en física.
Parámetro gravitacional estándar (GM)
Geoide

Notas [ editar ]

^ Solivérez, CE (2016). Electrostática y magnetostatica de cuerpos elipsoidales polarizados: el método del tensor de despolarización (1ª edición en inglés). Información científica gratuita. ISBN 978-987-28304-0-3.
↑ Marion, JB; Thornton, ST (1995). Dinámica clásica de partículas y sistemas (4ª ed.). Harcourt Brace & Company. pag. 192. ISBN 0-03-097302-3.
↑ Arfken, George B .; Weber, Hans J. (2005). Métodos matemáticos para físicos Edición internacional para estudiantes (6ª ed.). Prensa Académica pag. 72. ISBN 978-0-08-047069-6. Extracto de la página 72
↑ Sang, David; Jones, Graham; Chadha, Gurinder; Woodside, Richard; Stark, Will; Gill, Aidan (2014). Cambridge International AS y A Level Physics Coursebook (edición ilustrada). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 276. ISBN 978-1-107-69769-0. Extracto de la página 276
^ Muncaster, Roger (1993). Física de nivel A (ed. Ilustrada). Nelson Thornes. pag. 106. ISBN 978-0-7487-1584-8. Extracto de la página 106
^ Vladimirov 1984, §7.8
^ MacMillan, WD (1958). La teoría del potencial . Dover Press.
^ Marion y Thornton 2003, §5.2
↑ Grøn, Øyvind; Hervik, la teoría general de la relatividad de Sigbjørn Einstein: con aplicaciones modernas en cosmología Springer, 2007, p. 201
^ Wylie, CR, Jr. (1960). Matemática de Ingeniería Avanzada (2ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pag. 454 [Teorema 2, Sección 10.8].

Referencias [ editar ]

Lupei Zhu Profesor Asociado, Ph.D. (Instituto de Tecnología de California, 1998). “Gravedad y estructura de densidad de la tierra”. EAS-437 Dinámica de la Tierra . Universidad de Saint Louis (Departamento de Ciencias de la Tierra y Atmosféricas). Consultado el 25 de marzo de 2009.
Charles D. Ghilani (28-11-2006). “El campo de gravedad de la tierra”. El libro de hechos de física . Programa de Ingeniería de Topografía de Penn State. Archivado desde el original el 18 de julio de 2011. Consultado el 25 de marzo de 2009.
Thornton, Stephen T .; Marion, Jerry B. (2003), Dinámica clásica de partículas y sistemas (5ª ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-40896-1.
Rastall, Peter (1991). Postprincipia: Gravitación para físicos y astrónomos . Científico mundial. pp. 7ff. ISBN 981-02-0778-6.
Vladimirov, VS (1971), Ecuaciones de física matemática , Traducido del ruso por Audrey Littlewood. Editado por Alan Jeffrey. Matemáticas Puras y Aplicadas, 3 , Nueva York: Marcel Dekker Inc., MR 0268497.