¿Los resultados matemáticos siempre serían ciertos, incluso si las leyes de la física fueran diferentes?

Toda matemática parte de presunciones, a las que llamamos “axiomas”. Las matemáticas prueban que SI los axiomas son ciertos, entonces las conclusiones también son ciertas.

La física proporciona un conjunto interesante de axiomas (cosas como los resultados de experimentos y observaciones sobre la naturaleza) que se pueden usar para derivar teoremas que son declaraciones útiles sobre el mundo real.

Quitar los axiomas proporcionados por la física y las matemáticas seguirá funcionando, pero sin los datos experimentales / de observación de la física, sería algo completamente abstracto.

Lamento decir que esta pregunta es un poco extraña, porque los resultados matemáticos se basan en reglas y leyes, demostraron ser válidos, por lo que la veracidad de los resultados matemáticos se basa en este hecho. Mientras que las leyes de la física también se basan en postulaciones probadas por formulaciones matemáticas y verificadas por observación o experimento. Con esto quiero decir que las matemáticas, con todas sus ramas, son la herramienta principal para construir las leyes de la física. Sí, las leyes de la física son diferentes porque tratan con diferentes fenómenos físicos de la naturaleza, pero aún así las leyes y reglas matemáticas juegan el formalismo básico en la formulación de las leyes de la física. Espero que la respuesta sea clara. Gracias.

Esta es la respuesta de un laico. Creo que los resultados matemáticos serían diferentes si las leyes de la física fueran diferentes. Las matemáticas dependen en gran medida de los procesos comunes de nuestro cerebro. Se deriva de la naturaleza de las cantidades basadas en las señales que ingresan a nuestro cerebro y se procesan utilizando la estructura del cerebro.

Nuestra matemática se basa en la naturaleza del mundo macroscópico donde los objetos se observan como distintos entre sí y las estructuras son estables. Si no hay decoherencia cuántica, ni siquiera estaríamos aquí para hablar de matemáticas.

Si. Las matemáticas existen por derecho propio. Lo sorprendente, como señaló Eugene Wigner en La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales, es lo extraordinario que es que la física siga las reglas que las matemáticas han elegido, por sus propias razones. Esto sugiere que las matemáticas no son arbitrarias. Pero si se demostrara que es arbitrario, a las matemáticas no les importaría.

Las matemáticas no dependen directamente de la física, por lo que incluso si las “leyes de la física” fueran diferentes, las matemáticas seguirían siendo correctas, matemáticamente.

Sin embargo, las ecuaciones que usamos para modelar matemáticamente sistemas físicos no necesariamente harían un buen trabajo de predicción. O bien, podría tomar diferentes ecuaciones por completo (que descubriríamos y pensaríamos que son perfectamente racionales).

Por ejemplo, la geometría tiene las reglas que tiene (como “tres ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados”) porque el “mundo” es localmente bastante plano. Sin embargo, esa regla de suma solo es cierta en el espacio euclidiano. Dibuje un triángulo muy grande (bordes de mil millas de largo) en la superficie de la tierra, o en la superficie de una “silla de montar” gigante (piense en “papa frita”) y los ángulos interiores sumarán un valor mayor o menor. Entonces, si nuestro espacio-tiempo no fuera “plano” (tal vez vivíamos cerca de un agujero negro), las reglas de la geometría podrían ser diferentes.

Pero, si bien las matemáticas en ambos casos serían perfectamente correctas, solo una opción tendría valor predictivo.

Si la física fuera diferente, la fórmula matemática sería diferente. ¡Pero gran parte de la física se ha derivado directamente de resultados matemáticos! ¡Es muy cierto que las leyes de las matemáticas implican empíricamente muchas leyes de la física! Además, ¿cómo podrían las leyes de la física ser diferentes? ¡Están entrelazados y unidos por el Universo mismo!

“Las leyes de la física” no son leyes proscriptivas, son leyes descriptivas, por lo que no pueden “ser diferentes”. Esto es lo que observamos, no observamos “diferente”. (No hay una ley escrita que diga, “exceder la velocidad de la luz conlleva una multa de $ 50”, es solo que la información no puede exceder la velocidad de la luz. Esa es una ley. No “no debería”, “no puede”. Es no es posible que eso “cambie”. (Si lo hiciera, el universo probablemente no soportaría la vida, por lo que no estaríamos aquí, por lo que no habría hecho la pregunta. Desde que lo hizo, las leyes de la física no han t – y no puedo – cambiar).

Creo que la aritmética y el álgebra no se ven afectadas por las leyes de la física, pero la trigonometría podría verse afectada por las propiedades de SpaceTime.

Vivimos dentro de un régimen SpaceTime donde Space es plano y permanece plano con el tiempo. Si estuviéramos viviendo en un régimen SpaceTimr donde el espacio no será plano o seguirá cambiando con el tiempo, entonces los teoremas actuales de triangulaciones, etc. podrían ser algo diferentes.

Danya Rose da una respuesta excelente más larga.

Una más corta es que la base de las matemáticas es un sistema de axiomas que es independiente de la realidad física.