¿Podría formularse una base matemática de la gravedad cuántica utilizando solo las operaciones de suma y multiplicación?

No. Sinceramente lo dudo. De hecho, creo que podría sustituir casi cualquier teoría física por la “gravedad cuántica” en su pregunta y mi respuesta seguiría siendo no.

La cuestión crucial es la de limitar el comportamiento, que es un elemento crucial para pasar de una teoría discreta A + B o A * B a una en la que se produce el límite infinitesimal. Una derivada simple o integral sería un ejemplo. En otras palabras, descarte todo el campo del cálculo y, para el caso, la geometría diferencial. Sin estas poderosas herramientas, sin cálculo vectorial, sin teoría unificada de electricidad y magnetismo, sin relatividad especial, sin teoría de transiciones de fase, etc. Y, tenemos que descartar una teoría de la mecánica cuántica … que también se deriva de los avances en cálculo y Teoría de grupo. Entonces, limitándome solo a la suma y la multiplicación, no creo que tenga suficientes herramientas matemáticas para construir teorías de trabajo de casi nada.

Agregaré, sin embargo, es una pregunta interesante pensar cuáles son las operaciones matemáticas mínimas o los conjuntos de operaciones necesarios para una clase específica de teorías. Suponga que tiene un conjunto de elementos que forman un grupo y un conjunto de reglas de composición de esos elementos. Por ejemplo, supongamos que solo tenemos reglas de suma y multiplicación que actúan sobre el conjunto de números racionales. A través de la multiplicación y su inversa, división y suma y su resta inversa, puedo tomar dos números racionales y generar otro número racional. Sin embargo, números como [math] \ pi [/ math] no se pueden escribir en términos de suma / resta o multiplicación / división de números racionales sin tomar un número infinito de tales composiciones. Por ejemplo

[matemáticas] \ pi = 4 \ sum_ {k = 1} ^ {\ infty} \ frac {(- 1) ^ {k + 1}} {2k-1} = 4 \ left (1 – \ frac {1} {3} + \ frac {1} {5} + \ cdots \ right) [/ math]

¡Esta suma (serie Gregory) converge muy lentamente ! Tan lento que ni siquiera converge a 2 decimales en aproximadamente 300 términos. Incluso en 1666, Newton utilizó la construcción geométrica para deducir que

[matemáticas] \ pi = \ frac {3 \ sqrt {3}} {4} + 24 \ int_0 ^ {1/4} \ sqrt {xx ^ 2} dx [/ matemáticas]

en el que la integral se puede escribir como la serie:

[matemáticas] \ int_0 ^ {1/4} \ sqrt {xx ^ 2} dx = \ left (\ frac {1} {12} – \ frac {1} {5 \ cdot 2 ^ 5} – \ frac {1 } {28 \ cdot 2 ^ 7} – \ cdots \ right) [/ math]

Hay miles de otras fórmulas para calcular [matemáticas] \ pi [/ matemáticas], cada una de las cuales requiere un número infinito de términos.

El punto es que para tener una teoría matemática completa que incluya números irracionales como [math] \ pi [/ math], necesito tener una estructura de grupo que admita transformaciones infinitesimales.

Todas las cosas son posibles pero me parece dudoso. Nuestra teoría cuántica actual requiere cálculo y estadísticas para calcular las funciones de onda. Aunque agregan, no es una mera adición. En cuanto a la gravedad, la base de la relatividad general es la geometría no euclidiana, que requiere más que las matemáticas básicas. Y luego está el problema de que la física de cada uno es incompatible con la otra.

Lo primero que diría (no soy un especialista) es que las fórmulas deben tomarse “como si” porque expresan la forma más sencilla de calcular algo. Probablemente podría hacer una fórmula basada solo en estas dos operaciones, pero sería una derivada de la original y más larga, más difícil de memorizar. Tenga en cuenta que las fórmulas implican operaciones que tienen un sentido lógico, por lo tanto, una fórmula que solicita que se reste algo significa que usted trabaja con la base central del universo físico. Primero que nada, una fórmula debe tener sentido