Vectores tensoriales?
Solo se llaman tensores.
Los escalares (léase: números) son tensores de rango cero, los vectores son tensores de rango uno y los tensores de rangos más altos se denominan tensores de rango X.
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Pero supongo que estás preguntando, ¿por qué necesitamos tensores de rangos superiores a 1. Primero, déjame explicarte qué es un tensor de una manera simple.
Piense en lo que es un vector, es un conjunto de valores unidos a cada “coordenada”, lo que estamos acostumbrados a llamar como vectores unitarios , de un espacio.
La posición en el espacio 2D es
[matemáticas] a * i + b * j [/ matemáticas]
donde [math] i, j [/ math] son los vectores unitarios. Por lo general, escribimos esto como,
[matemáticas] \ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} [/ math]
Ahora imagine que en lugar de tener algo que atribuya un valor a cada coordenada de un sistema, tiene algo que atribuye un valor a cada producto ordenado de 2 coordenadas:
[matemáticas] a * ii + b * ij + c * ji + d * jj [/ matemáticas]
Por lo general, escribiremos esto como,
[matemáticas] \ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix} [/ math]
Este es un tensor de rango 2. En general, esto es para lo que se usan los tensores.
Si fuera una combinación de 3 coordenadas ([matemáticas] a * iii +… [/ matemáticas]), tendría un tensor de rango 3.
Ahora, ¿por qué necesitaríamos tal cosa? Bueno, hablemos del tensor métrico .
En la geometría a la que está acostumbrado, la fórmula del teorema de Pitágoras / distancia establece:
[matemáticas] distancia ^ 2 = \ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2 [/ matemáticas]
Pensemos en un tensor. Podemos escribir lo que tenemos arriba como,
[matemáticas] distancia ^ 2 = 1 * \ Delta x \ Delta x + 0 * \ Delta x \ Delta y + 0 * \ Delta y \ Delta x + [/ matemáticas] [matemáticas] 1 * \ Delta y \ Delta y [ /matemáticas]
Si trata [math] \ Delta x [/ math] y [math] \ Delta y [/ math] como coordenadas, puede obtener un tensor de esto:
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} [/ math]
Esto se llama tensor métrico del espacio ‘plano’.
Sin embargo, si prueba la distancia en un globo utilizando la longitud y la latitud como sus coordenadas, esto no funcionará. De hecho, si prueba esa fórmula en cualquier superficie curva, no funcionará.
En cambio, para cada punto en una superficie curva, le asignamos un tensor métrico de algún valor para decirnos cómo la distancia varía con el cambio en [matemática] x [/ matemática] y el cambio en [matemática] y [/ matemática].
Por ejemplo,
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \ sin (\ theta) ^ 2 \ end {bmatrix} [/ math]
es el tensor métrico para una esfera en coordenadas esféricas estándar [matemáticas] (\ theta, \ phi) [/ matemáticas].
El tensor métrico es solo un uso de tensores de rango 2.
