La energía potencial gravitacional viene dada por [math] E_g = – \ dfrac {GMm} {r} [/ math]. Se define como el trabajo realizado moviendo una masa desde el infinito (es decir, fuera del campo gravitacional) a un punto dentro de un campo gravitacional. En lugar de hablar sobre esto, voy a hablar sobre el potencial gravitacional, básicamente la energía gravitacional por unidad de masa, [matemática] V = – \ dfrac {GM} {r} [/ matemática].
Cuando dices un agujero negro, puedes decir 2 cosas: una singularidad, o el horizonte de eventos / radio de Schwartszchild de un agujero negro. Discutiré sobre ambos.
Una singularidad, por definición, es un punto de tamaño cero. Cualquier cosa que entre en contacto con una singularidad no tiene distancia alguna separándola del centro de masa de la singularidad, entonces [matemática] r = 0 [/ matemática]. Ahora, para la ecuación anterior, [math] r [/ math] está en el denominador, por lo que una entrada de [math] r = 0 [/ math] de hecho da un valor infinito para el potencial gravitacional, independientemente de la masa de La singularidad. Es interesante notar que la singularidad podría tener cualquier masa, podría pesar tanto como un electrón, o un quark de encanto y escapar de ella todavía requiere una cantidad infinita de energía.
Ahora, para el horizonte de eventos. Esto (para un observador en el infinito) está dado por el radio de Schwartszchild del agujero negro: [math] r_s = \ dfrac {2GM} {c ^ 2}. [/ Math] El potencial gravitacional es en realidad una parte clave para derivar el Schwartzschild radio, por lo que se puede sacar fácilmente de él.
En [math] r = r_s, – \ dfrac {c ^ 2} {2} = – \ dfrac {GM} {r} [/ math]
Encontramos algo sorprendente: el potencial gravitacional de un punto en el horizonte de eventos de un agujero negro es una constante, sin importar la masa del agujero negro: [math] – \ dfrac {c ^ 2} {2}. [/ Math ] Ahora sospecho que la razón por la que hiciste esta pregunta hará que hagas otra pregunta aquí: “¿cómo puedo nunca escapar del horizonte de eventos de un agujero negro, si solo necesito una cantidad finita de energía?”. Aquí es donde entra en juego la relatividad general. La dilatación del tiempo debido a un campo gravitacional es relativa: depende de la intensidad del campo de gravitación donde se encuentra el objeto que está observando y de la intensidad del campo gravitacional donde se encuentre. Cuanto mayor sea la diferencia en las intensidades de campo, mayor será la dilatación del tiempo. Ahora, en el horizonte de eventos, la dilatación del tiempo es infinita en relación con un observador fuera del campo gravitacional del agujero negro. Esto significa que, en cualquier lugar más allá de la atracción gravitacional del agujero negro (no existe tal lugar, ya que la gravedad tiene un rango infinito), todo lo que sucederá es en el pasado: nunca se puede llegar a tiempo para que ocurra un evento, y tu llegada sería un evento así, así que simplemente nunca puedes llegar allí. Ahora, esto coincide con la definición de un horizonte de sucesos (¡sorpresa!): El punto en el que todo el futuro de un objeto se encuentra dentro del agujero negro. Un error común es que las palabras “agujero negro” aquí significan el radio de Schwartszchild; no lo hacen, sino que significan la influencia gravitacional del agujero negro. A medida que avanzas más en el agujero negro y te acercas a la singularidad, la distancia que la distancia máxima que puedes poner entre tú y la singularidad disminuye, hasta que finalmente, cuando te encuentras con la singularidad, se convierte en 0 y cruzas esa otra definición de un horizonte de eventos (ambos son realmente correctos, solo están confundidos), el potencial gravitacional se vuelve infinito y nunca puedes volver a cruzarlo.