¿Podría la curvatura del espacio potencialmente medirse con la precisión suficiente para determinar la forma / tamaño del universo?

Está hecho, lo cual es realmente sorprendente teniendo en cuenta que no podemos viajar a ningún lado más allá del pequeño movimiento del Sistema Solar. Y se hace usando varios métodos diferentes, algunos más empíricos, otros más teóricos, combinándolos e intentando dar sentido a todo cuando se combinan.

La curvatura del espacio (tiempo) se define combinando dos parámetros, los contenidos de masa-energía del universo y un término de expansión cosmológica Lambda (energía oscura). En realidad, ambos se combinan linealmente para que pueda expresarse mediante un único parámetro llamado densidad de energía que define la curvatura k.

Se puede realizar una medición de la densidad de energía estudiando las supernovas de tipo Ia que se utilizan como velas estándar para muchas observaciones cosmológicas. Utilizándolos podemos calcular la tasa de expansión (el parámetro de Hubble). Los modelos con diferentes densidades de energía dan como resultado una evolución diferente de la expansión, por lo que podemos decir que la expansión medida coincide con modelos donde la densidad es muy cercana a la plana (a la densidad crítica llamada Omega).

Pero las mediciones más definitivas que tenemos hasta ahora se realizan al estudiar la radiación CMB. Los detalles son algo técnicos, pero los diferentes modelos de densidad dan como resultado fluctuaciones de temperatura con diferentes tamaños angulares, por lo que al estudiar estas fluctuaciones también concluimos que la densidad debe estar muy cerca de Omega, por lo que la geometría debe estar muy cerca de la plana.

Como dijiste en la sección de detalles adicionales de tu pregunta, sería como una hormiga tratando de medir la Tierra.

Algún día podremos desarrollar la tecnología y los medios para medir la curvatura del espacio, pero ciertamente no será pronto. Y esto supone que el espacio-tiempo se está extendiendo como una esfera en todas las direcciones con el universo tal como lo conocemos dentro de la esfera.

Las principales teorías sugieren que este no es el caso. Es más como si todo en el universo estuviera montado en la superficie de un globo que se está expandiendo. A medida que el globo se hace más grande, los puntos, las estrellas, los planetas crudos, etc., se alejarán cada vez más el uno del otro hasta que un día el globo explote.

Las mediciones indican que la curvatura es cero más o menos a menos de aproximadamente 1/2 del 1% y uno puede usar ese hecho para restringir el tamaño mínimo del universo. No sabemos si es cóncavo o convexo y los modelos de inflación nos dicen que debe ser extremadamente plano, extremadamente cercano a la curvatura cero.

http://www.slideshare.net/perren

Ha sido medido. El universo es plano en escalas muy grandes. Forma del universo – Wikipedia