¿Es una tontería el teorema de incompletitud del Gódel, o los científicos deberían simplemente rendirse?

¡ Ninguno !

Si los teoremas de incompletitud de Gödel son alguna forma de, disculpe mi “mierda” francesa, serían una buena mierda. Un resultado indiscutiblemente probado en las matemáticas bastante generales de los sistemas axiomáticos formales.

Los matemáticos, y mucho menos los científicos, apenas se ven afectados en su trabajo por estos teoremas. Hicieron un gran agujero en la esperanza de los matemáticos de una “teoría de todo”, también conocida como el programa de Hilbert, pero incluso grandes partes de eso se pueden salvar [1]. Hay, quizás, una meta conclusión aquí sobre los esfuerzos humanos que pretenden abarcar todo, pero nada que afecte la vida cotidiana de nada más que unos pocos matemáticos puros.

Por otro lado, extrapolaciones extrañas, maravillosamente extrañas y totalmente inválidas de (interpretaciones erróneas del) Teorema de Gödel (sic) son dos centavos. Eso incluye la falsa dicotomía en esta pregunta. Quizás el OP es el que debería dedicarse a la agricultura …

Notas al pie

[1] Programa de Hilbert – Wikipedia

El teorema de incompletitud de Gödel (o más exactamente su primer teorema) mostró que en cualquier sistema axiomático formal que sea lo suficientemente complejo, hay declaraciones verdaderas que no se pueden probar (o refutar) usando ese sistema , o el sistema es inconsistente. En un sistema diferente y más poderoso, las declaraciones no demostrables pueden ser diferentes, pero todavía habrá algunas, de hecho, un número infinito de ellas.

Esto solo tiene implicaciones limitadas para las matemáticas: de todos modos, muchas matemáticas no se realizan dentro de sistemas formales rígidos, y en ese sentido, la mayoría de las veces no se trata de fórmulas no demostrables (también indecidibles).

Las implicaciones para las diversas ciencias son aún menores. Para la mayoría de la ciencia, esta verdad matemática simplemente no es relevante. No hace que ninguna verdad científica sea falsa, ni las teorías científicas generalmente corresponden a fórmulas indecidibles en un sistema formal.

Si está interesado en esto, le recomiendo leer Gödel de Douglas Hofstadter , Escher Bach: una trenza dorada eterna . Pasa tres capítulos trabajando a través de la lógica simbólica básica para derivar el Teorema, dando pequeños pasos y sin exigir al lector más que el álgebra de la escuela secundaria. Está claro y bien escrito. (También ganó un premio Pulitzer cuando salió).

Los teoremas de Godel no tienen efecto en las ciencias físicas. En cambio, dicen algo sobre la relación de las matemáticas con la lógica. Pero la ciencia física no se ve afectada.

En mi opinión, y conozco a un par de personas en Quora que discuten fuertemente incluso esto, los Teoremas de Godel dicen, como mínimo, que las matemáticas no son simplemente una rama de la lógica deductiva. Esta fue la propia interpretación de Godel; Además, sintió que había demostrado un enfoque “platónico” en oposición al enfoque puramente empírico y nominalista de la verdad matemática. Pero mientras este debate continúa, el trabajo de los científicos físicos continúa sin cesar.

Filosóficamente, la ciencia física depende principalmente de la Ley de Inducción, que Godel no tiene nada que decir de ninguna manera:

Si cada ocurrencia conocida de A ha sido seguida por una ocurrencia de B, entonces es probable que la siguiente ocurrencia de A sea seguida por otra ocurrencia de B.

De nuevo, los Teoremas de Godel no tienen nada que decir al respecto.

Dicho de otra manera: los lógicos y los matemáticos puros se preocupan por la base lógica de todas las matemáticas. Los científicos físicos usan solo un pequeño porcentaje de todos los teoremas matemáticos, y ese pequeño número de teoremas se puede establecer sin violar a Godel.

Bueno, ¿es típico hablar del teorema de incompletitud de Gödel? Realmente hay 2 teoremas. La primera charla sobre la completitud de la aritmética de peano (la imposibilidad de demostrar todas las realidades (incluso antiplantonista y matemático formalista radical, considere el conjunto de teorías de conjuntos ZFC, NBG; NFU, es aplicable a toda teoría que incluye en sus conceptos un isomorfismo). de los números naturales. Muy pocos matemáticos desconocen el platonismo sobre la verdad de la falsedad de una fórmula solo con suma, multiplicaciones e igualdades sobre los números naturales. Los tipos tratan sobre la concepción mental de determinados subconjuntos de los números naturales, muchos de ellos no definible. El teorema de la incompletitud habla sobre la imposibilidad de usar cualquier teoría (los axiomas de Peano en primer orden son los más utilizados) para resolver, a través de la lógica de primer orden, todas las respuestas sobre números naturales. En segundo orden, la teoría es categórica, solo tiene cambiar el esquema de inducción para el axioma de inducción, pero es una teoría del lenguaje lógico de segundo orden, y la teoría es categórica (realmente representa La concepción intuitiva de los números naturales, pero no es una regla recursiva que permita decidir si un teorema para los números naturales es libre a través de la aritmética de Peano formlal. Es más poderoso que PA1 pero no puede dar una respuesta objetiva a todas las preguntas sobre números naturales. Es algo más potente que PA1 y todas las preguntas sobre números son verdaderas o falsas, pero no podemos encontrar un método efectivo para verificarlo (es un coloral del primer teorema de Gödel)

El segundo teorema habla sobre la completitud de PA2, pero creo que es muy poco importante en la práctica, a pesar de que invalida el Programa Hilbert que pretendía traducir todas las preguntas sobre conjuntos y todos los teoremas sobre todas las teorías sobre preguntas sobre PA2

Por supuesto, hay muchos teoremas que limitan la comprensión del universo, desde las relaciones de incertidumbre, hasta los teoremas de Gödel, pero esto solo significa que podemos jugar a ser dioses, solo limitar las posibilidades de la teoría.

No debemos olvidar que si queremos toda la ecuación universal de la física, necesitamos una computadora que use los valores del estado de todas las partículas, incluidas las partículas de la computadora adecuada. Es una limitación muy superficial, pero también lo es Una limitación. El teorema de la incompletitud es importante, pero no es el final de la matemática, es el final de un sueño de algunos matemáticos que puedes saber todo sobre matuhs, e incluso sobre el universo. Eso no es posible, pero las relaciones de incertidumbre en QM existen antes del Teorema de Gödel. Que podamos guardar todo no significa que sepamos algo sobre Universo, por supuesto.

A menudo veo este concepto erróneo y creo que proviene de este falso razonamiento:

(1) Godel demostró que existen afirmaciones verdaderas pero no demostrables en ciertos sistemas axiomáticos suficientemente complejos. (Pido disculpas si esto está mal).

(2) Por lo tanto, existen afirmaciones verdaderas pero no demostrables en todas las áreas de las matemáticas y las ciencias.

(3) Por lo tanto, nunca sabremos la verdad sobre nada, nunca.

(O la ciencia nunca puede ser la fuente de ninguna verdad. O, si queremos buscar la verdad, debemos salir de la ciencia y las matemáticas).

Creo que esta es la misma conclusión que las personas hacen cuando usan la expresión “mentiras, malditas mentiras y estadísticas”. O “la correlación no implica causalidad”. Las personas extienden incorrectamente estas declaraciones a “las estadísticas son inútiles” y ” la correlación no puede proporcionar ninguna información sobre la causalidad “.

En realidad estoy muy interesado en este fenómeno.

Si esta es una pregunta seria, te recomiendo que leas detenidamente

El teorema de Gödel: una guía incompleta para su uso y abuso

por Torkel Franzén.

Aquí hay una revisión de Avisos de la AMS:

http://www.ams.org/notices/20070 …

Solía ​​abordar la afirmación de que el teorema de incompletitud de Godel invalida la ciencia en general con la analogía de que si tenemos una película de dos horas perdiendo su último fotograma, eso no invalida la película, pero eso realmente no es lo suficientemente fuerte.

Creo que sería mejor decir que decir que el teorema de incompletitud de Godel invalida la ciencia en general es como decir que una película no es válida porque el último fotograma no regresa al primer fotograma.

Esta es una falsa dicotomía; intenta argumentar que la ciencia es irrelevante porque una teoría que no comprende puede o no ser cierta.

Supongo que, según su comentario sobre la agricultura, le fue muy mal en la escuela y desarrolló una visión del mundo que le permite marginar a las personas inteligentes para impulsar su propio ego pequeño.

También supongo que te criaste en el sur de Estados Unidos, y todavía estás allí hoy. Estoy en lo cierto?