Una respuesta pedante es que el cohete comienza en. [Matemática] 99999999 c [/ matemática], y cualquier otra velocidad, que no es solo una liendre. El problema conceptual que la mayoría de las personas tiene con la relatividad es que llevan una suposición inconsciente de que la velocidad, la distancia y el tiempo son absolutos. No lo son; Todos dependen del observador. Pero supongo que se refería a “cuánto tiempo se necesitaría para alcanzar la velocidad de la luz, o más bien .999999999 velocidad de la luz , medida en el marco de referencia original “. Y, por supuesto, eso depende de quién mide el tiempo. Pero consideremos esto tanto en el marco de referencia desde el cual comenzó el cohete como en el marco del cohete. Para resolver esto, usamos las ecuaciones de cohetes relativistas.
Resulta que el espacio-tiempo de Minkowski, la geometría de la Relatividad Especial, tiene una formulación particularmente encantadora que utiliza las funciones trigonométricas hiperbólicas:
[matemáticas] \ sinh x = \ frac {e ^ {x} – e ^ {- x}} {2} [/ matemáticas]
- Si un objeto viaja a la velocidad de la luz, ¿la luz va el doble de rápido?
- ¿Cuál es la influencia de la velocidad en la vida media de una partícula?
- ¿Cómo puede girar el objeto que rota más rápido 600 millones de veces por minuto? ¿No se movería más rápido que la velocidad de la luz?
- ¿Cuál es más rápido, la velocidad de la luz a través del vacío o la velocidad de la electricidad a través del cobre?
- En interestelar, ¿por qué la tasa de envejecimiento de Cooper es más lenta que la de Murphy?
[matemáticas] \ cosh x = \ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ tanh x = \ frac {\ sinh x} {\ cosh x} = \ frac {e ^ {x} – e ^ {- x}} {e ^ {x} + e ^ {- x}} [/matemáticas]
Y daremos las ecuaciones en esos términos. Queremos encontrar [matemáticas] T [/ matemáticas], el tiempo medido a bordo del barco (el “tiempo apropiado”); [matemáticas] t [/ matemáticas], el tiempo en el marco de referencia original; y [math] d [/ math], la distancia recorrida en el marco de referencia original. Estos son:
[matemáticas] t = \ sqrt {\ frac {d} {c ^ 2} + \ frac {2d} {a}} [/ matemáticas]
[matemáticas] T = \ frac {c} {a} \ cosh ^ {- 1} (\ frac {ad} {c ^ 2} + 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] d = \ frac {c ^ 2} {a} (\ sqrt {1 + (\ frac {at} {c}) ^ 2} – 1) [/ matemáticas]
[matemáticas] v = \ frac {at} {\ sqrt {1 + (\ frac {at} {c}) ^ 2}} [/ matemáticas]
Si sabemos [matemáticas] v [/ matemáticas], podemos resolver para [matemáticas] t [/ matemáticas]
[matemáticas] v ^ 2 (c ^ 2 + a ^ 2t ^ 2) = c ^ 2 a ^ 2 t ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] t ^ 2 = \ frac {v ^ 2 c ^ 2} {a ^ 2 (c ^ 2 – 1)} [/ matemáticas]
[matemáticas] t = \ frac {vc} {a \ sqrt {c ^ 2 – v ^ 2}} [/ matemáticas]
(Compare esto con el no relativista [matemáticas] t = \ frac {v} {a} [/ matemáticas]; la diferencia es un factor multiplicativo [matemáticas] \ frac {c} {\ sqrt {c ^ 2 – v ^ 2}} [/ math]. Para [math] v \ ll c [/ math], [math] \ sqrt {c ^ 2 – v ^ 2} \ approx c [/ math], y recuperamos lo no relativista aproximación).
Ahora solo resolvemos [math] d [/ math] y luego [math] T [/ math] conectando los valores obtenidos sucesivamente. Usaremos unidades donde [matemáticas] c = 1 [/ matemáticas], y mediremos el tiempo en años. En estas unidades, [matemática] 1G = 1.03 [/ matemática]. Tiene [matemáticas] a = 1.03, v = c – 10 ^ {- 9} [/ matemáticas]
[matemáticas] t = \ frac {(c – 10 ^ {- 9}) c} {a \ sqrt {c ^ 2 – (c – 10 ^ {- 9} c) ^ 2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] t = \ frac {1 – 10 ^ {- 9}} {(1.03) \ sqrt {1 – (1 – 10 ^ {- 9}) ^ 2}} = \ frac {1 – 10 ^ {- 9}} {(1.03) \ sqrt {2 \ veces 10 ^ {- 9} – 10 ^ {- 18}}} [/ matemáticas]
Podemos aproximar esto de cerca
[matemáticas] t = \ frac {1 – 10 ^ {- 9}} {(1.03) (4.45 \ por 10 ^ {- 5})} = \ frac {1} {4.58 \ por 10 ^ {- 5}} = 21834 [/ matemáticas] años
[matemáticas] d = \ frac {c ^ 2} {a} (\ sqrt {1 + (\ frac {at} {c}) ^ 2} – 1) = \ frac {1} {1.03} (\ sqrt { 1 + ((1.03) (21834) ^ 2} – 1) = \ frac {22488} {1.03} = 21834 [/ matemáticas] años luz
[matemáticas] T = \ frac {c} {a} \ cosh ^ {- 1} (\ frac {ad} {c ^ 2} + 1) = \ frac {\ cosh ^ {- 1} (1.03 (21834) + 1)} {1.03} [/ matemáticas]
Si no tiene una calculadora que calcule cos hiperbólicos inversos, para números muy grandes es muy aproximada por [math] \ ln [/ math]
[matemáticas] \ cosh x = \ frac {e ^ x + e ^ {- x}} {2} = y [/ matemáticas]
Pero si [matemática] x [/ matemática] es grande, [matemática] \ frac {e ^ x + e ^ {- x}} {2} \ aprox 2e ^ x [/ matemática], entonces [matemática] \ cosh ^ {-1} y \ aprox [/ matemática] [matemática] \ ln 2 y [/ matemática]
[matemáticas] T \ aprox \ frac {\ ln (2 (1.03) (21834)} {1.03} = 10.4 [/ matemáticas] años
Y sí, para volver a la velocidad 0 en el marco de referencia original, simplemente duplique cada cantidad.
