Porque no puede simplemente agregar dos vectores cuando sus componentes se especifican en diferentes marcos de coordenadas.
La ley de adición de velocidad te dice que cuando alguien que se mueve con relación a ti con velocidad [matemática] v [/ matemática] mide un objeto que viaja a velocidad [matemática] u [/ matemática], entonces medirás ese objeto a velocidad [matemática] u ‘= (u + v) / (1 + uv / c ^ 2) [/ math]. Los símbolos [math] u [/ math] y [math] u ‘[/ math] se refieren al mismo vector en diferentes marcos de coordenadas. Y esos marcos de coordenadas no están relacionados por una traducción, por lo tanto, la regla de transformación entre los dos no es la suma de vectores.
Por el contrario, la regla de transformación es una rotación hiperbólica, que se logra mediante la multiplicación de matrices, no la adición de vectores. La matriz en cuestión representa la transformación inversa de Lorentz. Ignorando las coordenadas [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática], está dada por
- Cuando viaja a la velocidad de la luz, ¿cómo se ven los objetos estables?
- ¿Cómo afecta la dilatación del tiempo a la materia?
- ¿Tardaría mucho tiempo incluso con la velocidad de la luz en llegar a otra galaxia?
- Si el tiempo es otra dimensión, ¿por qué no podemos ir y venir?
- ¿Por qué todo gira en torno a la velocidad de la luz?
[matemática] L = \ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ gamma & \ gamma v / c ^ 2 \\\ gamma v & \ gamma \ end {pmatrix}}, [/ math]
donde [math] \ gamma = 1 / \ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2} [/ math].
Ahora tome una partícula de prueba que comienza en el origen y se mueve con velocidad [matemática] u [/ matemática] con respecto al marco de coordenadas en movimiento. Después de algún tiempo [math] t [/ math], sus coordenadas de tiempo y espacio serán [math] t [/ math] y [math] ut [/ math]. Haga de este un vector de columna, multiplíquelo a la izquierda por [matemática] L [/ matemática], tome la razón de las nuevas coordenadas de espacio y tiempo y listo: obtendrá la ley de adición de velocidad.
Alternativamente, puede convertir la velocidad [math] u [/ math] en un vector de velocidad 4: el componente de tiempo será [math] 1 / \ sqrt {1-u ^ 2 / c ^ 2} [/ math], el componente [math] x [/ math] [math] u / \ sqrt {1-u ^ 2 / c ^ 2} [/ math]. Nuevamente, cuando multiplica esto como un vector de columna a la izquierda por [matemática] L [/ matemática], obtiene la ley de adición de velocidad.
Por lo tanto, no es la suma de vectores sino la multiplicación de matrices, que combina los efectos de las rotaciones hiperbólicas de 4 dimensiones, esa es la matemática correcta para usar en las transformaciones de Lorentz.