¿Por qué la adición de velocidad no sigue la regla de la adición de vectores en relatividad especial?

Porque no puede simplemente agregar dos vectores cuando sus componentes se especifican en diferentes marcos de coordenadas.

La ley de adición de velocidad te dice que cuando alguien que se mueve con relación a ti con velocidad [matemática] v [/ matemática] mide un objeto que viaja a velocidad [matemática] u [/ matemática], entonces medirás ese objeto a velocidad [matemática] u ‘= (u + v) / (1 + uv / c ^ 2) [/ math]. Los símbolos [math] u [/ math] y [math] u ‘[/ math] se refieren al mismo vector en diferentes marcos de coordenadas. Y esos marcos de coordenadas no están relacionados por una traducción, por lo tanto, la regla de transformación entre los dos no es la suma de vectores.

Por el contrario, la regla de transformación es una rotación hiperbólica, que se logra mediante la multiplicación de matrices, no la adición de vectores. La matriz en cuestión representa la transformación inversa de Lorentz. Ignorando las coordenadas [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática], está dada por

[matemática] L = \ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ gamma & \ gamma v / c ^ 2 \\\ gamma v & \ gamma \ end {pmatrix}}, [/ math]

donde [math] \ gamma = 1 / \ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2} [/ math].

Ahora tome una partícula de prueba que comienza en el origen y se mueve con velocidad [matemática] u [/ matemática] con respecto al marco de coordenadas en movimiento. Después de algún tiempo [math] t [/ math], sus coordenadas de tiempo y espacio serán [math] t [/ math] y [math] ut [/ math]. Haga de este un vector de columna, multiplíquelo a la izquierda por [matemática] L [/ matemática], tome la razón de las nuevas coordenadas de espacio y tiempo y listo: obtendrá la ley de adición de velocidad.

Alternativamente, puede convertir la velocidad [math] u [/ math] en un vector de velocidad 4: el componente de tiempo será [math] 1 / \ sqrt {1-u ^ 2 / c ^ 2} [/ math], el componente [math] x [/ math] [math] u / \ sqrt {1-u ^ 2 / c ^ 2} [/ math]. Nuevamente, cuando multiplica esto como un vector de columna a la izquierda por [matemática] L [/ matemática], obtiene la ley de adición de velocidad.

Por lo tanto, no es la suma de vectores sino la multiplicación de matrices, que combina los efectos de las rotaciones hiperbólicas de 4 dimensiones, esa es la matemática correcta para usar en las transformaciones de Lorentz.

Vea los resultados con la prueba de que las leyes de espacio-tiempo de la física son universales bajo la transformación lorentz generalizada. la velocidad de la luz ya no es el límite superior

Una sola ley de transformación universal para 4 vectores y tensores

Lo hace, la adición de vectores se define de manera diferente de lo que estás acostumbrado.

Un espacio vectorial es una estructura mucho más general de lo que piensas. La suma puede significar muchas cosas siempre que se cumplan los axiomas del espacio vectorial.

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