¿A qué altura sobre la superficie de la tierra disminuirá su aceleración debido a la gravedad en un 64%?

Derivemos una ecuación primero.

Sabemos que en la superficie de la Tierra,

[matemática] mg = \ dfrac {GMm} {R ^ 2} [/ matemática] donde, [matemática] m [/ matemática] es la masa de un objeto, [matemática] M [/ matemática] es la masa de la Tierra, [matemáticas] R [/ matemáticas] es el radio de la Tierra.

[matemáticas] \ por lo tanto \, g = \ dfrac {GM} {R ^ 2} [/ matemáticas]

En altura [matemáticas] h [/ matemáticas],

[matemáticas] g_h = \ dfrac {GM} {(R + h) ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \, \ dfrac {g_h} {g} = \ dfrac {R ^ 2} {(R + h) ^ 2} \ cdots (1) [/ matemáticas]

Según la pregunta, a la altura de [matemáticas] h [/ matemáticas], el valor de [matemáticas] G [/ matemáticas] disminuye en [matemáticas] 64% [/ matemáticas] lo que implica que el valor de [matemáticas] G [/ math] es [math] 36% [/ math] del valor original a la altura [math] h [/ math].

[matemáticas] \ dfrac {g_h} {g} = \ dfrac {36} {100} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ begin {align} \ por lo tanto \, (1) \ implica \ dfrac {R ^ 2} {(R + h) ^ 2} & = \ dfrac {36} {100} \\ \ implica \ dfrac { R} {R + h} & = \ dfrac {6} {10} \\ \ implica h & = \ dfrac {2R} {3} \ end {align} [/ math]

Sabemos que el radio de la Tierra está alrededor de [matemáticas] 6400 [/ matemáticas] km. Entonces, la altura requerida será [matemática] \ dfrac {2 \ cdot 6400} {3} [/ matemática] km o [matemática] 4266.66 [/ matemática] km.

(Gracias Nick Shales por señalar mi error)

La fuerza de gravedad sobre un cuerpo en la superficie de la tierra se define como:

F = (G * m1 * m2) / (R ^ 2) —Ecuación (1)

Donde, m1 = Masa de la tierra, m2 = Masa del objeto, R = Radio de la tierra

Ahora la masa de la tierra (m1), la constante gravitacional universal y el radio de la tierra son constantes.

Entonces, simplificando la ecuación (1) obtenemos,

F = g * m2

Entonces, g = (G * m1) / (R ^ 2) –Equation (2)

aquí, g es la aceleración debido a la gravedad.

Ahora para que la aceleración debido a la gravedad disminuya en un 64%; La aceleración final debida a la gravedad debe ser de 0,36 g.

Suponiendo que un cuerpo de masa m2 se coloca a una distancia de R ‘desde la superficie de la tierra y a una distancia R’, la aceleración debida a la gravedad es de 0,36 g. Entonces, tenemos que calcular el valor de R ‘

0,36 g = G * m1 * m2 / {(R + R ‘) ^ 2} —Ecuación (3)

Al poner el valor de g de la ecuación (2) en la ecuación (3) obtenemos,

(0.36 * G * m1) / (R ^ 2) = G * m1 * m2 / {(R + R ‘) ^ 2} ——Equation (4)

Al simplificar la ecuación (4) obtenemos,

R ‘= 2R / 3

Entonces, a una distancia de 2R / 3 (donde R es el radio de la tierra) desde la superficie de la tierra, la aceleración debida a la gravedad será de 0.36 go disminuirá en un 64%.

La aceleración debida a la gravedad se rige por la ecuación => g` = GM / (Re + h) ² a una altura h sobre el suelo y que en la superficie de la tierra es GM / Re². Como g` es 64%, entonces es 36% de eso en la tierra. => GM / (Re + h) ² = 0.36 {GM / (Re) ²}

=> (Re + h) ² / (Re) ² = 1 / 0.36 = 100/36

=> (Re + h) / Re = 10/6 = 5/3 => 1+ (h / Re) = 5/3

=> h / Re = 5 / 3–1 = 2/3 => h = (2/3) Re Re es el radio de la tierra. Ans ..

La aceleración debida a la gravedad viene dada por

[matemáticas] g (r) = \ frac {GM} {r ^ 2} [/ matemáticas]

para que el radio en el que encuentre una [matemática] g [/ matemática] dado esté dado por

[matemáticas] r = \ sqrt {\ frac {GM} {g}} [/ matemáticas]

Deseamos saber las [matemáticas] r [/ matemáticas] para las cuales [matemáticas] g = 0.64 \ veces 9.8 \ \ mathrm {m / s} ^ 2 = 6.272 \ \ mathrm {m / s} ^ 2 [/ math] , entonces

[matemáticas] r = \ sqrt {\ frac {3.986004418 \ veces 10 ^ {14} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm {s} ^ {- 2}} {6.272 \ \ mathrm {m / s} ^ 2}} = 7971.974 \ \ mathrm {km} [/ math]

Dado que el radio de la Tierra es de 6378.140 km, esto da una altitud de 1594 km.

1 / r² se convierte en 36% de su valor original (ya que el resto de los términos son constantes).

1 / r se convierte en 6/10 de 1 / 6400km.

Distancia desde el centro es 10666.6666666km.

4266.66666… km sobre la superficie de la tierra.

g disminuye al 64% de su valor a 1,592,750 metros de altura, o 1,592.75 km de altura.

Hice un programa blueJ para resolver tu pregunta. Todo lo que tienes que hacer es poner el porcentaje de g que deseas, y puede calcular la altura sobre la superficie de la tierra. El programa era en realidad beta para algún otro cálculo complejo personal que estaba tratando de hacer, pero cuando vi su pregunta sobre quora, pensé que podía ayudarlo girando un poco el programa.

Si sabe cómo usar blueJ, puede usar el programa que he proporcionado a continuación para conectar fácilmente el porcentaje de gy obtener la altura. Podría haber hecho que el programa sea un poco menos exigente y más rápido al eliminar la iteración innecesaria, pero como el problema no necesita tanta potencia informática, me volví un poco vago y lo dejé. Funciona sin embargo.

import java.io. *;

import java.lang.Math;

clase pública AccelerationDueToGravity

{

public static void main () arroja IOException

{

int c;

para (int i = 1; i> = 0; i ++)

{

doble f, g, p, h = 0, k = 0;

BufferedReader br = new BufferedReader (nuevo InputStreamReader (Recursos e información del sistema));

System.out.println (“Ingrese el porcentaje de g”);

p = Double.parseDouble (br.readLine ());

g = (6.67408 * (Math.pow (10, -11)) * 5.972 * (Math.pow (10,24))) / ((6.371 * (Math.pow (10,6)) + h) * ( 6.371 * (Math.pow (10,6)) + h));

System.out.println (“La aceleración debida a la gravedad en la superficie de la tierra es” + g + “m / s ^ 2”);

f = (g / 100) * p;

para (h = 0; h> = 0; h ++)

{

k = (6.67408 * (Math.pow (10, -11)) * 5.972 * (Math.pow (10,24))) / ((6.371 * (Math.pow (10,6)) + h) * ( 6.371 * (Math.pow (10,6)) + h));

si (k <= f)

descanso;

}

System.out.println (“La altura en metros es =” + h + “o en kilómetros es” + (h / 1000));

System.out.println (“El valor de g en” + h + “es =” + k);

System.out.println (“\ n Si desea hacer los cálculos nuevamente, presione 1, de lo contrario presione cualquier otro número”);

c = Integer.parseInt (br.readLine ());

si (c == 1)

Seguir;

más

descanso;

}

}

}

Solo ve a través de eso. Espero que ayude. Avíseme si la respuesta fue correcta.