¡Hola, una de mis construcciones favoritas! El camino de la fibración. Delish! Vamos a profundizar en.
Digamos que tenemos algo de espacio X. Queremos encontrar una buena extensión de X que no cambie su tipo de homotopía, pero nos da mucho margen de maniobra para hacer cosas interesantes (como factorizar una equivalencia de homotopía arbitraria de una manera agradable). qué hacemos? Bueno, uno de los conceptos más fundamentales en la teoría de la homotopía es el de una ruta: una función continua desde el intervalo [0,1] a nuestro espacio X, en este ejemplo. Todas las rutas se encuentran dentro de un gran espacio llamado espacio de ruta de X, que tiene una función continua arbitraria de [0,1] a X como cada uno de sus puntos, con la topología compacta abierta. Esto suena muy feo, ¿verdad? Bueno, aquí hay algunos datos útiles:
- Un camino en el espacio del camino (que tiene dos rutas como puntos finales) es una homotopía entre los puntos finales cuando se ve como rutas en X.
- La inclusión de {0} en [0,1] induce una supresión del espacio de ruta a X, dada por la evaluación en 0 (equivalente, composición después de la inclusión del punto). Debido a que las rutas son contractibles, en realidad podemos ver que este mapa sobreyectivo desde el espacio de ruta a X es una equivalencia de homotopía.
- El cociente [0,1] / que convierte el intervalo en el círculo induce una inclusión del espacio del bucle en el espacio del camino, que de hecho es una inclusión de paquetes. Esta es una construcción súper útil.
Entonces, esta es la motivación para los objetos espaciales del camino . Si tiene un topos infinito, entonces tiene todos los límites y colimits de homotopía. Un objeto de intervalo es un espacio designado [matemáticas] I [/ matemáticas] equipado con una inclusión [matemáticas] \ ast + \ ast \ a I [/ matemáticas]. Entonces, un objeto de espacio de ruta es un hom interno [matemáticas] X ^ {I} [/ matemáticas]. ¡Viene gratis con una proyección en el espacio base para garantizar que se comporte como espacios de trayectoria en la teoría de la homotopía!
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