Creo que el problema está retrocediendo un poco y confundido con el Teorema de la unicidad. Los campos no eligen sus fuentes, pero las fuentes crean un conjunto de campos. Bajo ciertas condiciones, esos campos serán ‘únicos’, ya que son la única solución posible. Comenzaré hablando de lo que dice el principio de equivalencia, luego aclararé dónde se aplica la unicidad cuando sea necesario. También he incluido una analogía al final si quieres saltarte las matemáticas.
El principio de equivalencia afirma que si se le da un determinado conjunto de campos [math] \ mathbf {E_1} [/ math] y [math] \ mathbf {H_1} [/ math] en una región, producido por algunas fuentes [math] \ mathbf {J_1} [/ math] y [math] \ mathbf {M_1} [/ math], puede configurar campos idénticos en algún subconjunto de esa región con un conjunto diferente de fuentes. Por lo tanto, puede tener varias distribuciones actuales diferentes que generan el mismo conjunto de campos en una región. La trampa es, por supuesto, que esto no es cierto para toda la región, pero esto generalmente es aceptable ya que solo podríamos estar interesados en resolver los campos en un área en particular.
Para ilustrar esto, digamos que tenemos la situación descrita anteriormente. Tenemos dos fuentes, una densidad de corriente eléctrica [math] \ mathbf {J_1} [/ math] y una densidad de corriente magnética [math] \ mathbf {M_1} [/ math]. Producen campos [math] \ mathbf {E_1} [/ math] y [math] \ mathbf {H_1} [/ math] en una región con parámetros constitutivos [math] \ epsilon_1 [/ math] y [math] \ mu_1 [ /matemáticas].
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Podemos crear una superficie [matemática] S [/ matemática] alrededor de las fuentes, dividiendo nuestro problema en dos regiones. Tenga en cuenta que nada ha cambiado sobre el problema hasta ahora.
Sabemos por el teorema de la unicidad que todo lo que necesitamos para especificar una solución para un conjunto de campos en una región con pérdida es una definición completa de las condiciones límite tangenciales. En particular, necesitamos conocer los campos tangenciales [math] \ mathbf {E} [/ math] y / o [math] \ mathbf {H} [/ math] a través del límite entre nuestras dos regiones. Esto garantiza que solo tenemos una solución posible (y por lo tanto única). El teorema de la unicidad puede expresarse en términos de conservación de energía de la siguiente manera:
Si tenemos dos conjuntos de soluciones [math] \ left (\ mathbf {E_a}, \ mathbf {H_a} \ right) [/ math] y [math] \ left (\ mathbf {E_b}, \ mathbf {H_b} \ derecha) [/ math] a las ecuaciones de Maxwell en una región, luego sus campos de diferencia [math] \ mathbf {E_a} – \ mathbf {E_b} = \ delta \ mathbf {E} [/ math] y [math] \ mathbf { H_a} – \ mathbf {H_b} = \ delta \ mathbf {H} [/ math] también debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell en espacio libre. Podemos conectar estos campos de diferencia al teorema de Poynting
[matemáticas] \ displaystyle \ iint_S \ delta \ mathbf {E} \ times \ delta \ mathbf {H} ^ * \ cdot d \ mathbf {s} + \ iiint_V \ left (\ delta \ mathbf {E} \ cdot \ delta \ mathbf {J} ^ * + \ delta \ mathbf {H} ^ * \ cdot \ delta \ mathbf {M} \ right) dv = 0 [/ math].
Ya que
[matemáticas] \ displaystyle \ delta \ mathbf {J} = (\ sigma + j \ omega \ epsilon) \ delta \ mathbf {E} [/ math]
y
[matemáticas] \ displaystyle \ delta \ mathbf {M} = (j \ omega \ mu) \ delta \ mathbf {H} [/ math],
y el término en la integral de superficie es cero una vez que hemos especificado nuestras condiciones límite tangenciales en un medio con pérdida ([math] \ sigma \ gt 0, \ epsilon \ gt 0, \ mu \ gt 0 [/ math]), luego la única forma en que se cumple el teorema de Poynting es si [math] \ delta \ mathbf {E} = \ delta \ mathbf {H} = 0 [/ math]. Si el medio no tiene pérdidas, podemos pensar en los campos únicos como la solución en el límite como [math] \ sigma [/ math], [math] \ epsilon [/ math] y [math] \ mu [ / matemáticas] ir a cero. Por lo tanto, [math] \ mathbf {E} _a = \ mathbf {E} _b [/ math] y [math] \ mathbf {H} _a = \ mathbf {H} _b [/ math], lo que significa que cada uno es posible [math] \ mathbf {J} _s [/ math] o [math] \ mathbf {M} _s [/ math] que posiblemente podríamos poner en el límite crea uno y solo un conjunto posible de campos [math] (\ mathbf {E}, \ mathbf {H}) [/ math].
Volviendo a nuestro problema original, podemos eliminar nuestras fuentes y reemplazarlas con nuevas ‘fuentes’, confiando en que generarán solo el campo exacto que deseamos. Estas ‘fuentes’ son:
[math] \ displaystyle \ mathbf {J} _s = \ mathbf {\ hat n} \ times \ left (\ mathbf {E_1} – \ mathbf {E_2} \ right) [/ math]
[math] \ displaystyle \ mathbf {M} _s = \ mathbf {\ hat n} \ times \ left (\ mathbf {M_1} – \ mathbf {M_2} \ right) [/ math]
donde [math] \ mathbf {\ hat n} [/ math] es la unidad normal a nuestra superficie [math] S [/ math], [math] \ mathbf {J} _s [/ math] y [math] \ mathbf {M} _s [/ math] son corrientes eléctricas y magnéticas que fluyen a lo largo de la superficie, y [math] \ mathbf {E_2} [/ math] y [math] \ mathbf {H_2} [/ math] son campos ‘nuevos’ dentro región 2. El problema se ha transformado en esto:
Esto muestra que, solo en la Región 1 (a menos que hayamos elegido establecer [matemática] E_1 = E_2 [/ matemática] y [matemática] H_1 = M_2 [/ matemática], causando [matemática] J_s = M_s = 0 [/ matemática ], lo que significaría que en realidad no hemos hecho nada en absoluto) podemos recrear idénticamente los campos originales utilizando densidades de corriente eléctrica y magnética de superficie.
Tenga en cuenta que si variamos nuestros campos (o incluso parámetros constitutivos) dentro de la Región 2 (interna a [matemática] S [/ matemática]) esto no afecta nuestra capacidad de encontrar una [matemática] J_s [/ matemática] apropiada y / o [matemáticas] M_s [/ matemáticas] en [matemáticas] S [/ matemáticas]. En verdad, los campos internos [matemática] E_2 [/ matemática] y [matemática] H_2 [/ matemática] y los parámetros constitutivos [matemática] \ mu_1 [/ matemática] y [matemática] \ epsilon_1 [/ matemática] son arbitrarios , por lo que Podemos elegir cualquier cantidad de configuraciones diferentes para modelar nuestro problema.
Si establecemos los campos internos iguales a [matemática] 0 [/ matemática] y mantenemos los mismos parámetros constitutivos, obtenemos lo que se llama Principio de equivalencia del amor.
Alternativamente, podemos establecer nuestra región interna en conductor eléctrico perfecto (principio de Schelkunoff) o conductor magnético.
Cualquiera de estos modelos se puede usar para obtener el mismo campo en la Región 1 que el problema original. Además, puede desarrollar otras formas de equivalencia, como el equivalente de inducción o el equivalente físico, para tratar la dispersión de los objetos.
Si eso es demasiado, aquí hay una analogía aproximada. Puedes ir a África (o donde sea) para ver la vida salvaje. Mientras estás allí, puedes ver la luz que rebota en el suelo, los árboles y los animales en persona. Tienes una vista directa de la región. Esa es la configuración original del problema.
Cuando regrese a casa, desea continuar viendo la vida salvaje africana. Afortunadamente, si hubiera configurado una cámara, puede disfrutar del mismo paisaje desde la comodidad de su sala de estar. Como la luz es una forma de radiación electromagnética, la cámara detecta esencialmente los componentes del campo electromagnético en su “límite” (la lente de la cámara) y le transmite los datos. Su monitor que recrea esta información en su propia pantalla. Si tiene una cámara de alta definición y un monitor de alta resolución, puede capturar y reproducir estas condiciones límite casi exactamente, ¡y parecerá que está de vacaciones! Y ciertamente no esperarías hacer toda esta grabación, solo para encender el feed y de repente te da un episodio de The Office. Sabes que lo que ve la cámara es exactamente lo que obtendrás, porque la solución recreada a partir de la información del límite en la lente de la cámara es completamente única. Por supuesto, solo está recreando el paisaje en el área frente al monitor, y no en todas partes, pero al menos en su región de visualización (en su sofá) ha creado un modelo ‘equivalente’ de la vida salvaje africana; pero esta vez con aire acondicionado y una nevera cercana.
