¡Hay mucho que aprender … especialmente porque, como lo sé, “cálculo II” no cubre el cálculo vectorial! Sin embargo, con un “atorníllelo, no entiendo nada, pero de todos modos voy a superar los problemas de la práctica”, ¡usted también puede aprender la relatividad general! (Esta actitud es cómo aprendí la mecánica cuántica y la relatividad general. No la golpees hasta que la hayas probado).
Te estoy tomando tu palabra de que solo quieres las matemáticas detrás de la relatividad general. Las ecuaciones de campo de Einstein son [matemática] G _ {\ mu \ nu} = 8 \ pi T _ {\ mu \ nu} [/ matemática], y la “[matemática] T _ {\ mu \ nu} [/ matemática]” está firmemente en el ámbito de la física. Por lo tanto, establezca “[matemáticas] T _ {\ mu \ nu} = 0 [/ matemáticas]”. Incluso lo que [matemática] g _ {\ mu \ nu} [/ matemática] hace a los relojes y observadores requiere una física real para comprender ([matemática] g _ {\ mu \ nu} [/ matemática] es la métrica: la dificultad de la relatividad general es que [math] G _ {\ mu \ nu} [/ math] depende de [math] g _ {\ mu \ nu} [/ math] de una manera muy muy complicada). Para la mayoría de los matemáticos, comprender el espacio-tiempo PLANO (relatividad especial) es difícil. No por las matemáticas, sino porque va en contra de la intuición.
Dicho todo esto, aquí hay algunos libros que necesita para comprender las matemáticas de lo que afirma la ecuación de vacío de Einstein, [matemática] G _ {\ mu \ nu} = 0 [/ matemática]. (Nota: Las soluciones de vacío incluyen soluciones de agujero negro y ondas gravitacionales. ¡Son muy ordenadas!)
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- Relatividad especial de AP French. Este es un libro de físicos para físicos, pero no necesita preocuparse por la física. Por ejemplo, siéntase libre de ignorar cualquier “derivación” de la transformación de Lorentz, simplemente tome la transformación de Lorentz, el intervalo invariante, etc., como datos dados. No te interesarán los muones en la atmósfera ni los experimentos de interferometría. Su objetivo al leer este libro debe ser comprender por qué la “paradoja del establo y el poste” y la “paradoja doble” no son realmente paradojas. Su objetivo también es sentirse cómodo al dibujar diagramas de Minkowski con hipérbolas por todo el lugar y comprender SO (3,1). (esta es una notación demasiado matemática. Dada la matriz [matemática] g [/ matemática] con entradas diagonales [matemática] (- 1,1,1,1) [/ matemática] y ceros en todas partes, SO (3,1) es el conjunto de todas las matrices [matemática] M [/ matemática] tal que [matemática] M ^ T g M = g [/ matemática]). No se puede apreciar cómo la métrica codifica la curvatura sin comprender qué importa la métrica.
- Cómo demostrarlo de Velleman. No es necesariamente un requisito previo para la relatividad general, pero saber cómo demostrar las cosas y pensar matemáticamente es un requisito previo para el tercer libro …
- Colectores, tensores y formas de Renteln. Este es un buen libro para la geometría diferencial porque supone una métrica pseudo-riemanniana en todas partes, mientras que muchos libros de matemáticas asumen métricas riemannianas en toda su extensión. Los manifiestos en la relatividad general son pseudo-Riemannianos. Los requisitos previos para este libro además de Velleman incluyen leyes básicas de cálculo como la regla de la cadena. Puede hojear los capítulos 1 y 2, y omitir los capítulos 4, 5 e incluso 6 y 9. Pase todo su tiempo en los capítulos 3 (definición de múltiples y diferenciación en múltiples), 7 (paquetes de vectores) y 8 (¡CURVATURA!). El Capítulo 8 es lo que está dispuesto a comprender: curvatura, derivadas covariantes y similares. Si lees el capítulo 8, comprenderás todas las matemáticas detrás de la relatividad general en el vacío.
- ¡Ahora que comprende todas las matemáticas de la relatividad general, puede disfrutar de los frutos de su trabajo! ¡Resuelve las ecuaciones de campo de Einstein en simetría esférica! ¡Linealice las ecuaciones para resolver la precesión del perihelio de Mercurio o para obtener una solución de onda gravitacional! ¿Por qué no el efecto de arrastre de cuadros de la Tierra? ¡O haga que su optimismo sea aplastado visitando el índice del tensor! Los buenos libros para todo esto y más son las recomendaciones habituales: Schutz, MTW, Poisson, Weinberg, etc., siendo Schutz el más fácil / más recomendado. Comprender las consecuencias de [matemáticas] G _ {\ mu \ nu} = 0 [/ matemáticas] seguirá siendo extremadamente difícil, pero al menos podrás entender qué [matemáticas] G _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas ] es. Es [matemáticas] R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} g _ {\ mu \ nu} R ^ \ kappa _ {\ \ \ kappa} [/ matemáticas], y [matemáticas] R _ {\ mu \ nu} [/ math] es solo [math] R ^ \ kappa _ {\ \ \ mu \ kappa \ nu} [/ math] y [math] R ^ \ kappa _ {\ \ \ gamma \ mu \ nu } [/ math] es solo el tensor de curvatura discutido en Renteln)
Tenga en cuenta que esto es un prejuicio personal. Realmente odio la definición de “un tensor es algo que se transforma como un tensor”. Me ha causado mucha confusión, me ha quitado mucho tiempo y ha disminuido la velocidad a la que aprendí la relatividad general. Lo anterior es cómo aprendí la relatividad general, pero reemplacé el paso 4 con cursos en UCSD. Renteln me tomó unos meses de verano para revisar, y lo mismo para los otros dos libros.
Pensé en agregar la Electrodinámica de Griffiths [1] a la lista (la gravedad linealizada y la electrodinámica comparten muchas propiedades, y la electrodinámica naturalmente te da una [matemática] T _ {\ mu \ nu} [/ matemática] para jugar) y el Cálculo vectorial de Schaum ( Sin embargo, realmente odio la parte de cálculo tensorial de este libro, y realmente odio el esquema de cálculo tensorial de Schaum).
Notas al pie
[1] Introducción a la electrodinámica (4ª edición): David J. Griffiths: 9780321856562: Amazon.com: Libros
