Un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) puede describirse completamente por su respuesta al impulso.
Un sistema se puede describir como una función (cuadrado, valor absoluto, retraso de tiempo, sin, cos, tan, exp, …).
Digamos que el sistema emite y1 cuando la entrada es x1, y y2 cuando la entrada es x2. Luego decimos que el sistema es lineal si genera (a.y1 + b.y2) cuando la entrada es (a.x1 + b.x2).
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Decimos que el sistema es invariante en el tiempo si su salida no depende del tiempo. Digamos que el sistema emite y (t) cuando la entrada es x (t), entonces un sistema invariable en el tiempo generaría y (t – T) cuando la entrada es x (t – T).
La respuesta de impulso de un sistema LTI es la salida del sistema cuando la entrada es una función dirac delta. es decir: [matemáticas] x (t) = \ delta (t) [/ matemáticas]. La respuesta al impulso se conoce comúnmente como [matemáticas] h (t) [/ matemáticas].
Por qué es importante ? Debido a que se puede demostrar que para cualquier entrada [matemática] x (t) [/ matemática], la salida de un sistema LTI, debido a sus propiedades de linealidad e invariancia en el tiempo, se puede describir completamente conociendo solo la respuesta al impulso del sistema [ matemática] h (t) [/ matemática] a través de la integral de convolución:
[matemáticas] y (t) = \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ \ infty x (\ tau) h (t- \ tau) d \ tau = \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ \ infty x ( t- \ tau) h (\ tau) d \ tau. [/ math]
Esto se conoce como la convolución entre la entrada [matemática] x (t) [/ matemática] y la respuesta de impulso del sistema [matemática] h (t). [/ Matemática] Se puede generalizar a dos funciones diferentes [matemática] x (t) [/ math] y [math] y (t); [/ math] también tiene buenas propiedades de linealidad y conmutatividad.
La convolución se puede entender intuitivamente gráficamente cuando se consideran los siguientes pasos:
- Voltee una de x (t) o h (t). (Digamos que volteamos x (t)).
- Desplaza x (-t) a infinito negativo.
- Comience a deslizarlo hacia la derecha hasta que cumpla con la función h (t).
- En cada punto de tiempo mientras lo desliza, multiplique las dos funciones y calcule el área bajo el resultado del producto (el área es equivalente a integral). Esto le dará el resultado de la convolución en el instante t.
- Siga deslizándolo hasta que el producto sea cero (es decir, hasta que las dos gráficas ya no se crucen).
También se puede calcular analíticamente para algunas funciones simples.
Aquí hay un enlace para tener una mejor comprensión:
Alegría de Applet de convolución.
Para obtener más información, consulte uno de los libros de procesamiento de señales.
Uno de los mejores es Signals and Systems de Alan Oppenheim.
Otra muy buena referencia es Signals, Systems and Transforms de Philips.
Espero que esto haya respondido tu pregunta.
