Ah sí, los infames “interruptores variables de introducción de física”. Tienes toda la razón y tienes todo el derecho a estar confundido. La idea general es que, bajo ciertas condiciones, si la posición de la partícula se puede invertir para determinar el tiempo, se observa la aceleración y la velocidad como funciones de la posición, en lugar del tiempo.
La solución rápida y sucia en su caso es hacer lo siguiente. Observe que [math] a (r) = a (r (t)) [/ math], por lo que realmente puede ver [math] a [/ math] como una función de [math] t [/ math]:
[matemáticas] a (r (t)) = a (t) = r ” (t) = – \ frac {GM} {r ^ 2 (t)} [/ matemáticas]
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Multiplica ambos lados por r ‘(t):
[matemáticas] r ‘(t) \ cdot r’ ‘(t) = -r’ (t) \ frac {GM} {r ^ 2} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que esto se parece mucho a la regla de la cadena. En el LHS:
[matemáticas] r ‘(t) \ cdot r’ ‘(t) = \ frac {d} {dt} \ frac {1} {2} [r’ (t)] ^ 2 = \ frac {d} {dt } \ frac {1} {2} v ^ 2 (t) [/ matemáticas]
y en el RHS:
[math] -r ‘(t) \ cdot \ frac {GM} {r ^ 2 (t)} = \ frac {d} {dt} \ frac {GM} {r (t)} [/ math]
entonces
[matemática] \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {1} {2} v ^ 2 – \ frac {GM} {r} \ right) = 0 [/ math]
Al conectar algunos [math] r_0 inicial, v_0 [/ math], encontramos
[matemática] \ frac {1} {2} v ^ 2 – \ frac {GM} {r} = \ frac {1} {2} v_0 ^ 2 – \ frac {GM} {r_0} [/ math].
Esto debería parecer familiar: es solo la solución que obtendríamos al considerar la conservación de la energía.