¿Cómo calcular la velocidad final a partir de la aceleración en función de la distancia?

Ah sí, los infames “interruptores variables de introducción de física”. Tienes toda la razón y tienes todo el derecho a estar confundido. La idea general es que, bajo ciertas condiciones, si la posición de la partícula se puede invertir para determinar el tiempo, se observa la aceleración y la velocidad como funciones de la posición, en lugar del tiempo.

La solución rápida y sucia en su caso es hacer lo siguiente. Observe que [math] a (r) = a (r (t)) [/ math], por lo que realmente puede ver [math] a [/ math] como una función de [math] t [/ math]:

[matemáticas] a (r (t)) = a (t) = r ” (t) = – \ frac {GM} {r ^ 2 (t)} [/ matemáticas]

Multiplica ambos lados por r ‘(t):

[matemáticas] r ‘(t) \ cdot r’ ‘(t) = -r’ (t) \ frac {GM} {r ^ 2} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que esto se parece mucho a la regla de la cadena. En el LHS:

[matemáticas] r ‘(t) \ cdot r’ ‘(t) = \ frac {d} {dt} \ frac {1} {2} [r’ (t)] ^ 2 = \ frac {d} {dt } \ frac {1} {2} v ^ 2 (t) [/ matemáticas]

y en el RHS:

[math] -r ‘(t) \ cdot \ frac {GM} {r ^ 2 (t)} = \ frac {d} {dt} \ frac {GM} {r (t)} [/ math]

entonces

[matemática] \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {1} {2} v ^ 2 – \ frac {GM} {r} \ right) = 0 [/ math]

Al conectar algunos [math] r_0 inicial, v_0 [/ math], encontramos

[matemática] \ frac {1} {2} v ^ 2 – \ frac {GM} {r} = \ frac {1} {2} v_0 ^ 2 – \ frac {GM} {r_0} [/ math].

Esto debería parecer familiar: es solo la solución que obtendríamos al considerar la conservación de la energía.

¡Bien, entonces la aceleración del cuerpo es variable con respecto a la distancia correcta!

Luego sigamos el siguiente método para encontrar la velocidad final como esta

escriba A como A = a (x) .

sabemos

A = dv / dt

dividir y multiplicar por dx

A = (dv / dx) * (dx / dt)

sabemos V = dx / dt así

A = (dv / dx) * V

multiplicar dx en ambos lados

A dx = V dv

a (x) dx = V dv

integrando en ambos lados

(Disculpe las molestias ya que no pude encontrar el símbolo integral de mi dispositivo)

Obtenemos

a (x) dx = V ^ 2-0 / 2

sabemos que la integral de una ficción b es b ^ 2/2 para los límites 0 a b.

(Si desconoce la integración, consulte quoro cómo integrar una función)

finalmente lo entendemos como

V = (2 * (a (x) dx)) ^ (1/2)

en palabras

la velocidad final es igual a la raíz cuadrada del producto de dos y la aceleración integrada en función de la distancia.

Hazlo de la manera ingenieril, linealízalo Para distancias que son pequeñas en comparación con el radio de la Tierra, se puede suponer que a es constante. Si eso no es lo suficientemente bueno, haga una aproximación por partes. Si no te gusta eso, tendrás que recurrir al cálculo.

Tenga en cuenta también que estamos hablando, creo, sobre un vector radial de la Tierra. Pero la mayoría de las trayectorias no son eso, por lo que se vuelve mucho más complicado.

[matemática] a = dv / dt = dv / dr dr / dt = vdv / dr = d (v ^ 2/2) / dr [/ math], para que pueda obtener v ^ 2 al integrar.

Eso debería ayudarlo a comenzar … O, de manera equivalente, podría hacerlo completamente sobre la base de la conservación de la energía, y que cuando se pierde la energía potencial, aparece como cinética.

Haría lo que Rick A. Baartman ha sugerido.

Además, le recomendaría que aprenda la ecuación diferencial que conecta la velocidad, la aceleración y la posición sin depender del tiempo.

a dx = v dv

En su ejemplo, la posición está representada por r, como contra x en la ecuación general anterior. La ecuación anterior también se puede derivar del teorema Trabajo-Energía.