¿Puedes explicar la integral de Cauchy sin usar muchas matemáticas? ¿Puedes explicar para qué sirve y por qué lo usamos?

Primero tenemos que ser claros acerca de las funciones analíticas. Una función f (z) es analítica en un punto z = a significa que f (z) tiene derivadas en cada punto dentro de un pequeño círculo sobre z = a.

Ahora, ¿qué significa cuando decimos que f (z) tiene una derivada ?

tomemos una función f (z) de una variable real x. Ahora, es posible para el límite de

[math] \ dfrac {\ delta f} {\ delta x}, [/ math] para tener dos valores en un punto [math] x_0 [/ math]: un valor que se aproxima desde la derecha y otro desde la izquierda. Ahora, cuando se dice que f (x) tiene derivada en x = [matemática] x_0 [/ matemática], los dos valores son iguales.

En el caso de una función compleja, la forma de aproximación puede ser infinita, y cuando decimos que la función f (z) tiene una derivada en z = [matemáticas] z_0 [/ matemáticas], todos los valores son iguales, independientemente de formas.

Ahora, la fórmula integral de Cauchy es

[matemática] f (a) = \ dfrac {1} {2 \ pi i} \ oint_C \ dfrac {f (z)} {za} dz [/ math], un interior c.

Esto dice que, si f (z) es analítico dentro y dentro de una curva cerrada simple C, el valor de f (z) en un punto z = a dentro de C viene dado por la fórmula anterior.

Esto se usa principalmente cuando queremos calcular el valor de una función analítica en un punto interior en una región simplemente conectada integrando la función alrededor de la curva que rodea la región.

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