La relatividad especial nos informa que hay dos concepciones intelectuales diferentes del tiempo. Uno es el tiempo coordinado , el ritmo de un reloj hipotético que nos permite especificar de forma única “el tiempo” para todos los eventos en el espacio y el tiempo. Otro es el ” tiempo propio transcurrido “, que es el valor físicamente realizable del tiempo transcurrido en un reloj a medida que se mueve a lo largo de una trayectoria específica. En la física newtoniana, estos conceptos son los mismos, pero los experimentos de física muestran que la relatividad especial es más correcta y los relojes sincronizados enviados en diferentes trayectorias realmente tienen diferentes tiempos transcurridos cuando se reúnen.
Así que describamos la trayectoria del punto de partida como un cierto cuerpo en movimiento inercial, y la trayectoria del punto final como también en movimiento inercial, sin velocidad relativa con respecto al punto de partida. Dado que no tienen una velocidad relativa, podemos establecer un sistema de coordenadas donde su movimiento inercial particular se considera “en reposo”. En dicho sistema de coordenadas, la luz tarda 80 años en enviarse de una a la otra y viceversa. de nuevo, por lo tanto, su separación es exactamente 40 años luz por definición.
Si un cuerpo abandona el punto de partida en una trayectoria inercial que intercepta el punto final a una velocidad de 0.7c en relación con el punto inicial (y también el punto final), entonces el tiempo coordinado eliminado para este viaje es (40 años luz) / (0.7 c) = 400/7 años = ((57 + 1/7) años) ≈ 57 años (citado con 2 dígitos de precisión). Por lo tanto, si, coincidiendo con la partida, se envía un mensaje a la velocidad de la luz al punto final, llega 17 1/7 años antes del cuerpo.
Sin embargo, el tiempo adecuado transcurrido para el cuerpo está dado por (comenzando con una expresión formal que funciona con cualquier parametrización de la trayectoria y simplificando primero para el caso de movimiento inercial a velocidad de coordenadas fija y luego calculando la respuesta específica a este problema):
[matemáticas] \ Delta \ tau = \ int _ {\ lambda _ {\ textrm {inicio}}} ^ {\ lambda _ {\ textrm {end}}} \ sqrt {\ left (\ frac {dt} {d \ lambda} \ derecha) ^ 2 – \ frac {1} {c ^ 2} \ izquierda (\ frac {d \ vec {x}} {d \ lambda} \ right) ^ 2} d \ lambda = \ int_ {t _ {\ textrm {inicio}}} ^ {t _ {\ textrm {fin}}} \ sqrt {\ left (\ frac {dt} {dt} \ right) ^ 2 – \ frac {1} {c ^ 2} \ left (\ frac {d \ vec {x}} {dt} \ right) ^ 2} dt \\ \ quad \ quad = \ int_ {t_ {start}} ^ {t_ {end}} \ sqrt {1 – v ^ 2 ( t) / c ^ 2} dt = \ frac {400} {7} \ sqrt {1 – 0.7 ^ 2} \, \ textrm {años} \\ \ quad \ quad = \ sqrt {\ left (\ frac {400 } {7} \ right) ^ 2 – 40 ^ 2} \, \ textrm {años} = \ frac {40 \ sqrt {51}} {7} \, \ textrm {años} \ aprox 40.8 \, \ textrm { años} [/ matemáticas]
Para una trayectoria inercial sobre cualquier distancia D, y velocidad constante v, esta expresión se puede escribir en formas más simples:
[matemáticas] \ Delta \ tau = \ sqrt {\ left (\ Delta t \ right) ^ 2 – \ frac {1} {c ^ 2} \ left (\ Delta \ vec {x} \ right) ^ 2} = (\ Delta t) \ sqrt {1 – v ^ 2 / c ^ 2} = \ frac {D} {v} \ sqrt {1 – v ^ 2 / c ^ 2} = \ frac {D} {c} \ sqrt {\ frac {c ^ 2} {v ^ 2} – 1} \\ \ quad \ quad = \ frac {40 \, \ textrm {años luz}} {c} \ sqrt {\ frac {c ^ 2 } {(0.7 c ^ 2)} – 1} = 40 \ sqrt {\ frac {1 – 0.7 ^ 2} {0.7 ^ 2}} \, \ textrm {años} = 40 \ sqrt {\ frac {51} { 49}} \, \ textrm {años} [/ math]
Esto está numéricamente cerca de 40, porque 0.7 está cerca de √½ ≈ 0.707. Es decir, si se mueve más rápido que √ (½) c, entonces el tiempo transcurrido adecuado para el viaje es más corto que el tiempo de coordenadas transcurrido para que la luz viaje la misma distancia.
En la parte superior de la atmósfera de la Tierra, los rayos cósmicos de alta energía colisionan con las moléculas de aire y forman partículas de muón de corta duración, muchas de las cuales llegan al suelo a pesar de que su vida útil promedio es mucho más corta que el tiempo de coordenadas transcurrido para que la luz llegue al suelo. Esto es evidencia de que los muones de alta velocidad experimentan un tiempo apropiado transcurrido que es muy corto, y es parte de un amplio conjunto de evidencia que favorece a Einstein sobre Newton.