No, no el doble de lento. La masa de la Tierra es demasiado pequeña para producir un cambio tan grande en el efecto de dilatación del tiempo al duplicarse.
De hecho, hay una fórmula simple para calcular la dilatación del tiempo gravitacional (ignorando los efectos de la rotación):
[math] \ mbox {factor de dilatación del tiempo} = \ sqrt {1 – \ dfrac {2 GM} {rc ^ 2}} [/ math]
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donde [math] G = 6.674 \ times10 ^ {- 11} \ mbox {m} ^ 3 \ mbox {kg} ^ {- 1} \ mbox {s} ^ {- 2} [/ math] es la constante gravitacional universal y [matemáticas] c = 299792.458 \ mbox {km / s} [/ matemáticas] es la velocidad de la luz.
Esta fórmula proporciona la velocidad a la que los relojes funcionan cuando se encuentra a una distancia [matemática] r [/ matemática] del centro de un cuerpo de masa (esféricamente simétrica) [matemática] M [/ matemática] en comparación con un observador muy lejos de la fuente de gravedad (para ese observador, lo anterior produce 1; más cerca del cuerpo esta cantidad será menor que uno).
De pie en la superficie de la Tierra ([matemática] r [/ matemática] [matemática] = 6378 [/ matemática] km y [matemática] M = 5.97 \ times10 ^ {24} [/ matemática] kg) viene el factor de dilatación calculado fuera de 0.999999999306 – muy cerca de 1 pero un poco menos, por lo que nuestros relojes aquí en la Tierra funcionan un poco más lento debido a la gravedad de la Tierra. Una forma más útil de afirmar es decir que los relojes en la Tierra se retrasarían unos 22 milisegundos por año (de su tiempo) con respecto al observador de referencia. Definitivamente no se nota para nosotros, pero se puede medir con un reloj atómico.
Y si la masa de la Tierra fuera el doble , manteniendo su tamaño igual, el factor de dilatación ahora sería 0.999999998612 , más o menos lo mismo, todavía muy cerca de 1. ¿Cuántos relojes caerían detrás del observador de referencia en un año? , sin embargo, es aproximadamente dos veces: aproximadamente 44 milisegundos por año .
Pero creo que lo que quisiste decir con “el doble de lento ” es la situación en la que cuando pasa 1 segundo para nosotros, solo transcurre medio segundo en esa “Tierra de doble masa”, ¿verdad? Dije que la masa de la Tierra es demasiado pequeña para eso … entonces, ¿qué tipo de masa se necesitaría para un cambio tan grande?
Con un poco de álgebra usando la expresión anterior, se puede obtener la respuesta (aún suponiendo que el radio es el de la Tierra): [matemáticas] 1 [/ matemáticas] [matemáticas] .84 \ veces10 ^ {33} [/ matemáticas] kg , que es aproximadamente 1000 veces la masa del Sol .
En la superficie de esa súper Tierra, el factor de dilatación del tiempo es 0.755928946018 . Ahora que se nota! Nuestros relojes allí funcionarían aproximadamente un 75% más rápido que los del observador lejano (es decir, transcurrirían 0,75 segundos en nuestros relojes por cada segundo). Y si duplicabas esa masa de la súper-Tierra, el factor de dilatación cambiaría a 0.377964473009 , que es la mitad del anterior, por lo que los relojes funcionarían dos veces más lento en ese caso, como lo solicitaste.
