Sí , si restringe a superficies compactas con límite. La carcasa no compacta es más dura.
Caso fácil: superficies cerradas conectadas
Para comenzar, una superficie compacta (es decir, un colector topológico bidimensional compacto) sin límite es siempre homeomorfo a exactamente uno de los siguientes:
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- (si es orientable) el conectado de la esfera [matemática] S ^ 2 [/ matemática] y cero o más copias del toro, [matemática] \ mathbb {T} = S ^ 1 \ veces S ^ 1 [/ matemática]
- (si no es orientable) la suma conectada del plano proyectivo real [math] \ mathbb {RP} ^ 2 [/ math] y una o más copias de [math] \ mathbb {T} [/ math]
De hecho, las clases de isomorfismo de superficies cerradas forman un monoide conmutativo bajo una suma conectada. La unidad es [matemática] [S ^ 2] [/ matemática] y es generada por [matemática] [\ mathbb {T}] [/ matemática] y [matemática] [\ mathbb {RP} ^ 2] [/ matemática] sujeto a una sola relación,
[math] [\ mathbb {RP} ^ 2] \ # [\ mathbb {RP} ^ 2] \ # [\ mathbb {RP} ^ 2] = [\ mathbb {RP} ^ 2] \ # [\ mathbb { T}] [/ matemáticas].
Tenga en cuenta que las superficies cerradas se distinguen por sus primeros grupos de homología singular con coeficientes en [math] \ mathbb {Z} [/ math].
En el caso orientable, el número de tori summands se llama el género de la superficie. En el caso no orientable, este número más uno a veces se llama demigenus .
Superficies conectadas compactas con límite
El siguiente caso más fácil es agregar límites. Dado que la clasificación de los múltiples 1 cerrados hasta el homeomorfismo es tan fácil, cada componente límite es un círculo. En el caso conectado, es fácil encontrar una familia continua de homeomorfismos que mueva todos estos componentes de límite dentro de un pequeño disco y los organice en una posición fija. Entonces, los tipos de homeomorfismo son biyectivos con los pares [matemáticas] (X, n) [/ matemáticas] donde [matemáticas] X [/ matemáticas] es un tipo de homeomorfismo de una superficie cerrada conectada y [matemáticas] n \ geq 0 [/ matemáticas ] es un entero.
La homología singular aún detecta si hay un límite no vacío en este caso (mirando [math] H_2 [/ math]). Sin embargo, cuando hay un límite no vacío, la homología singular ya no distingue todas las clases de homeomorfismo. Puede verificar que [math] H_1 \ cong \ mathbb {Z} ^ {2g + n-1} [/ math], donde [math] n> 0 [/ math] es el número de componentes de límite y [math] g [/ math] es el género. Entonces, por ejemplo, la homología singular no puede distinguir un toro perforado una vez de una esfera perforada tres veces. El grupo fundamental puede distinguir estos. ¿Ves por qué? Como pista, comience por tratar el caso [math] g = 0 [/ math].
Superficies compactas no conectadas
Los tipos de homeomorfismo de superficies compactas están en biyección con conjuntos múltiples de tipos de homeomorfismo del caso anterior. Tenemos que decir “multi-set” aquí porque los tipos se pueden repetir en diferentes componentes conectados.
Superficies no compactas
¡El estuche no compacto es mucho más difícil! No sé si se conoce una clasificación completa. Pero podemos entender un caso especial que surge a menudo en topología algebraica y geometría algebraica: superficies compactas conectadas con pinchazos. Una superficie conectada compacta perforada [matemática] n [/ matemática] veces es solo el complemento de [matemática] n [/ matemática] puntos distintos dentro de una superficie compacta, [matemática] \ Sigma \ setminus \ {p_1, \ ldots, p_n \}[/matemáticas].
El caso donde [math] \ Sigma [/ math] está cerrado y orientable con el género [math] g [/ math] es particularmente simple. Es bastante fácil demostrar que [math] \ Sigma \ setminus \ {p_1, \ ldots, p_n \} [/ math] la deformación se retrae en un ramo (suma de cuña) de [math] 2g – 1 + n [/ math] copias de [matemáticas] S ^ 1 [/ matemáticas]. Si está atascado, intente tratar el caso [math] g = 1 [/ math] por separado y extienda esto a [math] g> 1 [/ math] con un paso inductivo que tome una suma conectada con un solo toro. ¿Puedes resolver el caso no orientable también? Comience dibujando estructuras CW para el plano proyectivo y la botella de Klein (esta última es homeomorfa a [math] \ mathbb {RP} ^ 2 \ # \ mathbb {T} [/ math]). Compare esto con el caso de superficies compactas conectadas con límite: las perforaciones puntuales permiten retracciones de deformación donde las perforaciones de disco abierto (es decir, dejando una superficie compacta) solo permiten equivalencias de homotopía al comparar con ramos de círculos.
