Esta es una buena pregunta.
El teorema de Gauss para la gravedad se puede escribir:
g (r) * S = 4 * PI * G * m interior para r <R Tierra (1)
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Donde g (r) es la aceleración gravitacional (en realidad, debería escribirse la intensidad del campo gravitacional, pero son numéricamente iguales), G es la constante gravitacional ym interior es la masa abarcada por la superficie S de una esfera elegida.
g (R) * S Tierra = 4 * PI * G * M Tierra para la superficie de la Tierra (2)
S = 4 * PI * r ^ 2
m interior = (4/3) * PI * r ^ 3 * ro, donde ro es la densidad de la Tierra.
Asumimos que la Tierra es esférica, homogénea y sin fricción.
S Tierra = 4 * PI * R ^ 2
M Tierra = (4/3) * PI * R ^ 3 * ro
Deje (1) / (2)
=> g (r) / g (R) = r / R
Por lo tanto, g (r) = (g (R) / R) * r (3)
En SHM, la aceleración a = constante * x, donde x es la distancia a la posición de equilibrio.
La ecuación (3) muestra este tipo de dependencia matemática.
Conociendo la aceleración en SHM, a = w ^ 2 * r, podemos calcular el período de tiempo:
T = 2 * PI * sqr (R / g (R))
Donde g (R) = 9.81 m / s ^ 2 y R = 6371 km.