Si podemos lanzar una pelota hacia el centro de la Tierra, ¿por qué funciona como un simple movimiento armónico?

Esta es una buena pregunta.

El teorema de Gauss para la gravedad se puede escribir:

g (r) * S = 4 * PI * G * m interior para r <R Tierra (1)

Donde g (r) es la aceleración gravitacional (en realidad, debería escribirse la intensidad del campo gravitacional, pero son numéricamente iguales), G es la constante gravitacional ym interior es la masa abarcada por la superficie S de una esfera elegida.

g (R) * S Tierra = 4 * PI * G * M Tierra para la superficie de la Tierra (2)

S = 4 * PI * r ^ 2

m interior = (4/3) * PI * r ^ 3 * ro, donde ro es la densidad de la Tierra.

Asumimos que la Tierra es esférica, homogénea y sin fricción.

S Tierra = 4 * PI * R ^ 2

M Tierra = (4/3) * PI * R ^ 3 * ro

Deje (1) / (2)

=> g (r) / g (R) = r / R

Por lo tanto, g (r) = (g (R) / R) * r (3)

En SHM, la aceleración a = constante * x, donde x es la distancia a la posición de equilibrio.

La ecuación (3) muestra este tipo de dependencia matemática.

Conociendo la aceleración en SHM, a = w ^ 2 * r, podemos calcular el período de tiempo:

T = 2 * PI * sqr (R / g (R))

Donde g (R) = 9.81 m / s ^ 2 y R = 6371 km.

La intensidad del campo gravitacional en un punto debajo de la superficie de la tierra es directamente proporcional a la distancia del punto desde el centro de la tierra.

Esto significa que la fuerza que experimentará un cuerpo (debajo de la superficie) es directamente proporcional a la distancia desde el centro de la tierra.

Por lo tanto, si deja caer una bola por un tubo que atraviesa el centro de la tierra, la bola experimentará una fuerza de gravedad (peso) que es directamente proporcional a la distancia desde el centro de la tierra.

Cuando la pelota llegue al centro de la tierra, tendrá un peso cero pero continuará moviéndose más allá del centro de la tierra hacia el otro lado de la tierra. A medida que se mueve desde el centro hacia la superficie, su peso aumenta proporcionalmente con su distancia desde el centro.

La definición de movimiento armónico simple es el movimiento donde la fuerza resultante sobre el cuerpo es directamente proporcional a su distancia desde su posición promedio y siempre es hacia su posición promedio.

La posición promedio de la pelota está en el centro de la tierra y, por lo tanto, la pelota realizará un movimiento armónico simple. Dondequiera que esté la pelota, está experimentando una fuerza resultante hacia el centro de la tierra.

Experimentará una fuerza máxima cuando esté en las dos superficies de la tierra (en cada extremo del tubo).

Momentáneamente experimentará fuerza cero (peso) en el centro de la tierra.

Suposiciones hechas: la tierra es homogénea y no hay resistencia al aire.

La resistencia del aire seguirá significando que realiza un movimiento armónico simple, pero la amplitud de cada oscilación disminuirá hasta que finalmente descanse en el centro de la Tierra.

Lo anterior también es cierto para cualquier tubo que no atraviese el centro de la tierra: ver

La respuesta de Chris Hall a ¿Cuál podría ser la mejor manera de viajar de un país a otro en el futuro?

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