¿Cómo puede ser indefinido el impulso de las partículas cuánticas?

El momento es indeterminado de la misma manera que otros observables pueden tener un valor indeterminado para un sistema cuántico. Una partícula en general tiene una posición indeterminada, momento indeterminado, momento angular indeterminado, etc. Si el sistema “tiene” esos valores diferentes de lo observable al mismo tiempo plantea problemas de interpretación, pero en mi opinión, tiene sentido pensar que el sistema tiene esos valores diferentes de lo observable al mismo tiempo.

La característica de la teoría cuántica que permite esto es el principio de superposición. Los llamados estados “puros” de un sistema cuántico están representados por construcciones matemáticas de algún tipo que tienen una suma y una multiplicación escalar que los convierten en un espacio vectorial abstracto. Los vectores de longitud 1 representan estados, donde dos vectores que son diferentes solo por un factor general que tiene magnitud 1 (un factor de fase global de la forma [matemática] e ^ {i \ theta} [/ matemática] para algún ángulo [ math] \ theta [/ math]) representan el mismo estado del sistema. Dejando a un lado los detalles técnicos, hay un sentido en el que se supone que es posible “agregar” estados de la partícula en la que el momento es diferente, y el resultado es un estado en el que el momento es indeterminado.

La razón por la que generalmente no asumimos que estas superposiciones son solo un reflejo de nuestra propia ignorancia del estado del sistema es que hay efectos de interferencia. Posiblemente haya visto una discusión sobre el “experimento de dos rendijas”. En el experimento de dos rendijas, un pequeño sistema cuántico, a menudo solo una sola partícula pero posiblemente un átomo, atraviesa una barrera con dos rendijas y luego golpea una pantalla más allá. La distribución estadística de las posiciones donde el sistema golpea la pantalla tiene bandas gruesas y delgadas, como si lo que pasaba a través de la barrera fuera una ola. (Cuando se usa luz, el resultado es un patrón de bandas brillantes y oscuras). Interfiere constructivamente consigo mismo en algunos lugares e interfiere destructivamente en otros. Este es uno de los experimentos que nos impidió adoptar un modelo de luz puramente “partícula” (o electrones y otras partículas).

El hecho de que la interferencia destructiva puede hacer que el sistema sea menos probable que golpee una parte de la pantalla de lo que sería si bloquea una de las ranuras nos sugiere a algunos de nosotros que el sistema realmente está pasando por ambas ranuras. En cualquier caso, el formalismo para calcular qué resultado esperar ver, según la teoría cuántica, representa el sistema con algo así como una onda que tiene interferencia destructiva en las partes de la pantalla donde es poco probable que el sistema golpee la pantalla.

La razón por la que menciono el experimento de dos rendijas, que sugiere que la posición del sistema es indeterminada, en lugar de un experimento que muestre por qué pensamos que el impulso es indeterminado, es que es más difícil establecer dicho experimento, incluso cuando Un experimento mental. Sin embargo, en principio, podríamos llegar a un experimento en el que la teoría cuántica implique que obtendrás interferencia destructiva entre los componentes del estado de un sistema que tienen momentos diferentes.

Si ignoramos algunos detalles de partículas como el espín, hay un modelo muy simple de una partícula aislada, donde su estado viene dado por una función de onda en el espacio, [matemática] \ phi (x, y, z) [/ matemática]. Los valores de [math] \ phi [/ math] pueden ser números complejos. La función se normaliza habitualmente para que la integral de [math] | \ phi | ^ 2 [/ math] sobre todo el espacio sea 1. La magnitud al cuadrado [math] | \ phi | ^ 2 [/ math] puede pensarse entonces en como la distribución de posibles ubicaciones de la partícula, si tuviéramos que mirar dónde está.

Una partícula simplificada de este tipo tiene un momento cercano al bien definido cuando la forma de la función está cerca de una de magnitud constante cuya fase cambia a una velocidad constante en la dirección de su momento, que sería una constante multiplicada por [math] e ^ {i (ax + by + cz)} [/ math] donde [math] (a, b, c) [/ math] es el momento dividido por la constante [math] \ hbar [/ math ] [matemáticas] = h / (2 \ pi) [/ matemáticas]. Se puede ver de inmediato que va a haber un problema al decir que la partícula tiene un momento único bien definido, porque esta función de onda que se extiende por todo el espacio no se puede normalizar. Lo que tenemos en cambio es una serie de aproximaciones al impulso que está bien definido. Si hacemos una función de onda que se parece mucho a esa fórmula, pero que disminuye lentamente en magnitud a medida que uno se aleja de una posición central, obtenemos un “paquete de onda” que se puede normalizar y tiene aproximadamente el impulso dado.

Si sumamos dos funciones de onda para momentos diferentes [matemática] p_1 = (a_1, b_1, c_1) [/ matemática] y [matemática] p_2 = (a_2, b_2, c_2) [/ matemática], obtenemos una función de onda eso representa el estado de una partícula que tiene un momento más indeterminado. Si tuviéramos que medir el momento de la partícula, obtendríamos algo cercano a [math] p_1 [/ math] o [math] p_2 [/ math] sin ninguna forma de predecir cuál es.

Sería tentador decir que la partícula real tiene un impulso definido, pero no sabemos qué es, excepto que hay otras medidas posibles que podríamos hacer en la misma partícula. La función de onda en este caso tendría una magnitud cercana a 2 donde los dos componentes que agregué están cerca de la misma fase, pero también una pequeña magnitud donde están cerca de fases opuestas. En principio, podríamos configurar una partícula en ese estado, y luego verificar si su posición estaba en una de esas regiones de interferencia destructiva. Si la partícula ya hubiera decidido de alguna manera si tener un valor de impulso cercano a [matemática] p_1 [/ matemática] o cercana a [matemática] p_2 [/ matemática], esta interferencia destructiva desaparecería.

De hecho, hay otros experimentos de interferencia en los que la partícula se dirige a lo largo de dos caminos diferentes hacia un objetivo. Si se acerca por un camino, su impulso es cercano a un valor. Si se acerca al objetivo en el otro camino, su impulso está cerca de cierto otro valor. Obtener franjas de interferencia en este tipo de experimento es una confirmación del tratamiento de la teoría de que la partícula tiene un impulso indeterminado.

Tu premisa está mal. El impulso de las partículas cuánticas está muy bien definido. En la representación de posición para partículas no relativistas. el operador de impulso es -i h-bar Del .

Creo que lo que querías decir es que se desconoce el impulso, ya que la naturaleza tampoco lo sabe, hasta que tomes una medida del impulso.

Este es el quid de la mecánica cuántica. Dado un operador y una función de onda, los posibles resultados de una medición son los valores propios del operador, cada uno con una probabilidad determinada a partir de la función de onda. No importa el operador, el resultado de la medición no se determina hasta que se realizan las mediciones.

> Ciertamente, ¿no significa que la partícula tiene muchos momentos diferentes al mismo tiempo?

¿Cómo podrías probar esta afirmación? Requeriría mediciones, pero las mediciones proyectan la función de onda en aquellas con un impulso definido. No tiene forma de saber qué sucede antes de realizar una medición.

El momento de una partícula cuántica es una función de su longitud de onda.

Dependiendo de la estructura de onda que asuma su modelo, el impulso de los cuantos puede ser inexpugnable, por lo tanto indefinible, en cierto modo, el impulso de las partículas cuánticas puede ser indefinible.

Supongamos, como modelo de estructura de partículas, un tren de ondas cortas. Los trenes de onda corta no tienen una longitud de onda constante. Por lo tanto, si las partículas son de hecho trenes de onda corta, su impulso es intrínsecamente inexpugnable precisamente porque no tienen una longitud de onda constante . Tienen longitudes de onda, por lo tanto, también deben tener impulso; es solo que, dado que una longitud de onda precisa es inexpugnable, su impulso no se puede definir.

De acuerdo, ahí lo tienes. Tenemos un impulso de partículas ‘indefinidas’.

Curiosamente, también acabamos de cuestionar el “principio de incertidumbre”. Si el impulso es intrínsecamente inexpugnable (es decir, indefinido), la llamada relación conjugada o complementaria entre la posición y el momento es una falsa dicotomía. Curiosamente, si asumimos un modelo de tren de ondas para partículas, no solo el impulso, sino también la posición necesariamente debe permanecer indefinida.

Dado que un modelo de tren de ondas supone una disipación asintótica, la determinación de la longitud de una partícula es necesariamente arbitraria, limitada por nuestra disposición o nuestra capacidad de medir con cierto grado arbitrario de precisión. El problema es: si no podemos conocer la longitud de una partícula, ¡ciertamente no podemos saber su posición!

Dado un modelo de tren de ondas para la estructura cuántica, ¡es imposible saber con precisión la posición de una partícula o su momento! Podemos estar bastante seguros, saber más sobre uno no significa saber menos sobre el otro. Nosotros tampoco podemos saberlo.

[Esto casi se ha extrapolado de las introducciones a cada uno de los 3 volúmenes de las conferencias de Feynman . ]

¿Cómo puede ser indefinido el impulso de las partículas cuánticas?

¿Cómo entender la afirmación de que una partícula no tiene un impulso particular?

Es fácil entender cómo una partícula no puede tener un impulso particular: simplemente no usa un valor escalar para describir el impulso, usa, como, un vector o matriz o algo así, pero de hecho no estoy seguro de cómo sería posible que el impulso sea indefinido. Si no está definido, entonces no puedes hacer ningún cálculo con él, básicamente ya no está en el ámbito de la física …