¿Existe una derivación teórica para la velocidad de la luz que se haya verificado experimentalmente?

Las ecuaciones de Maxwell dan que:

[matemáticas] \ nabla \ cdot \ vec {E} = \ frac {\ rho} {\ epsilon_0} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ nabla \ cdot \ vec {B} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ nabla \ veces \ vec {E} = – \ frac {\ partial \ vec {B}} {\ partial t} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ nabla \ veces \ vec {B} = \ mu_0 \ left (\ vec {J} + \ epsilon_0 \ frac {\ partial \ vec {E}} {\ partial t} \ right) [/ math]

Donde [math] \ vec {E} [/ math] es el campo eléctrico, [math] \ vec {B} [/ math] es el campo magnético, [math] \ rho [/ math] es la densidad de carga, [ math] \ vec {J} [/ math] es la densidad de corriente y [math] \ epsilon_0 [/ math] y [math] \ mu_0 [/ math] son ​​la permitividad y la permeabilidad del espacio libre.

Estas son las ecuaciones que gobiernan el electromagnetismo.

Si vamos al límite del espacio vacío, entonces [math] \ rho [/ math] y [math] \ vec {J} [/ math] son ​​cero:

[matemáticas] \ nabla \ cdot \ vec {E} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ nabla \ cdot \ vec {B} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ nabla \ veces \ vec {E} = – \ frac {\ partial \ vec {B}} {\ partial t} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ nabla \ times \ vec {B} = \ mu_0 \ epsilon_0 \ frac {\ partial \ vec {E}} {\ partial t} [/ math]

Si tomas el rizo de la tercera ecuación:

[matemáticas] \ nabla \ times (\ nabla \ times \ vec {E}) = – \ frac {\ partial} {\ partial t} \ nabla \ times \ vec {B} [/ math]

Luego podemos sustituir en el cuarto de las ecuaciones de Maxwell en el vacío:

[matemáticas] \ nabla \ times (\ nabla \ times \ vec {E}) = – \ frac {\ partial} {\ partial t} \ left (\ epsilon_0 \ mu_0 \ frac {\ partial \ vec {E}} { \ parcial t} \ derecha) [/ matemáticas]

Lo que da:

[math] \ nabla \ times (\ nabla \ times \ vec {E}) = – \ epsilon_0 \ mu_0 \ frac {\ partial ^ 2 \ vec {E}} {\ partial t ^ 2} [/ math]

Entonces podemos usar la siguiente identidad vectorial:

[matemáticas] \ nabla \ times (\ nabla \ times \ vec {A}) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ vec {A}) – \ nabla ^ 2 \ vec {A} [/ math]

Excepto que sabemos que en el vacío, [matemáticas] \ nabla \ cdot \ vec {E} = 0 [/ matemáticas]

Por lo tanto:

[matemática] \ nabla \ times (\ nabla \ times \ vec {E}) = – \ nabla ^ 2 \ vec {E} [/ math]

Lo que significa:

[matemáticas] \ nabla ^ 2 \ vec {E} = \ epsilon_0 \ mu_0 \ frac {\ partial ^ 2 \ vec {E}} {\ partial t ^ 2} [/ matemáticas]

Se puede obtener una ecuación idéntica para [math] \ vec {B} [/ math] a través de la misma manipulación.

Esta es una ecuación de onda.

Una onda que se propaga en el espacio libre se rige por la siguiente ecuación:

[matemáticas] \ nabla ^ 2 \ vec {u} = \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 \ vec {u}} {\ partial t ^ 2} [/ matemáticas]

Donde [math] c [/ math] es la velocidad de onda.

Por lo tanto, todo nuestro álgebra muestra que las perturbaciones en un campo electromagnético se propagan como ondas, viajando con una velocidad [matemática] c = \ frac {1} {\ sqrt {\ mu_0 \ epsilon_0}} [/ matemática]

Los valores para [math] \ mu [/ math] y [math] \ epsilon [/ math] pueden determinarse experimentalmente observando la fuerza generada por los campos eléctricos y magnéticos.

Si haces esto, encontrarás:

[matemáticas] \ mu_0 = 1.2566370614… [/ matemáticas] [matemáticas] \ veces 10 ^ {- 6} [/ matemáticas] NA [matemáticas] ^ {- 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ epsilon_0 = 8.854187817… \ veces 10 ^ {- 12} [/ matemáticas] F m [matemáticas] ^ {- 1} [/ matemáticas]

Ahora conectamos esto para encontrar que:

¡Ajá! ¡Encontramos que las perturbaciones electromagnéticas se propagan exactamente a la velocidad de la luz!

El hecho de que la luz sea una perturbación electromagnética no es trivial, y de hecho se observó al revés (Maxwell señaló que ambos viajaron a la misma velocidad y, por lo tanto, podrían ser lo mismo), pero una vez que afirme que este hecho es cierto independientemente, entonces tiene una manera de calcular la velocidad de la luz, midiendo la fuerza de las fuerzas electromagnéticas.

Esto proporcionó datos correlacionados con mediciones directas de la velocidad de la luz.

Hoy en día esto es principalmente una idea circular: la velocidad de la luz se define como [matemática] 299,792,458 [/ matemática] m / s, y de eso derivamos lo que es “1 metro”, por lo que calcular la velocidad de la luz en realidad no ¡ningún sentido!

Como otros señalaron, si asumimos la validez de las ecuaciones de campo de Maxwell, la velocidad de propagación constante de las ondas electromagnéticas en el vacío sigue y puede derivarse rigurosamente de la teoría de Maxwell.

Ahora bien, si suponemos que las propiedades del vacío siguen siendo las mismas independientemente del movimiento del observador, entonces se deduce que dos observadores, que se mueven uno con respecto al otro, calculan la misma velocidad de la luz. Esto, por supuesto, contradice la relatividad galileana y apunta a la necesidad de una teoría revisada.

Esta teoría revisada llegó en forma de Einstein, que postuló que existe una velocidad invariable que es la misma para todos los observadores inerciales. Entonces, en la formulación moderna, no se deriva la constancia de la velocidad de la luz; Se postula. Debe enfatizarse que este postulado es completamente consistente con el experimento y la observación, desde 1887 hasta el famoso experimento de Michelson-Morley.

Antes del siglo XVII, generalmente se pensaba que la luz se transmite instantáneamente. Esto fue respaldado por la observación de que no hay un retraso notable en la posición de la sombra de la Tierra en la Luna durante un eclipse lunar, que de otro modo se esperaría si c fuera finito. Hoy en día, sabemos que la luz se mueve demasiado rápido para que el retraso sea notable. Galileo dudó de que la velocidad de la luz sea infinita, e ideó un experimento para medir esa velocidad cubriendo y descubriendo linternas manualmente que estaban separadas unas pocas millas. No sabemos si alguna vez intentó el experimento, pero nuevamente c es demasiado alto para que tal método dé una respuesta remotamente precisa.

Olaus Roemer realizó la primera medición exitosa de c en 1676. Notó que, dependiendo de la geometría Tierra-Sol-Júpiter, podría haber una diferencia de hasta 1000 segundos entre los tiempos predichos de los eclipses de las lunas de Júpiter, y los tiempos reales en que se observaron estos eclipses. Conjeturó correctamente que esto se debe al tiempo variable que tarda la luz en viajar de Júpiter a la Tierra, ya que la distancia entre estos dos planetas varía. Obtuvo un valor de c equivalente a 214,000 km / s, que era muy aproximado porque las distancias planetarias no se conocían con precisión en ese momento.

En 1728, James Bradley hizo otra estimación al observar la aberración estelar, que es el desplazamiento aparente de las estrellas debido al movimiento de la Tierra alrededor del Sol. Observó una estrella en Draco y descubrió que su posición aparente cambió a lo largo del año. Todas las posiciones estelares se ven afectadas por igual de esta manera. (Esto distingue la aberración estelar del paralaje, que es mayor para las estrellas cercanas que para las estrellas distantes). Para comprender la aberración, una analogía útil es imaginar el efecto de su movimiento en el ángulo en el que cae la lluvia, mientras corre a traves de. Si te quedas quieto bajo la lluvia cuando no hay viento, cae verticalmente sobre tu cabeza. Si corres bajo la lluvia, te llega en ángulo y te golpea en el frente. Bradley midió este ángulo para la luz de las estrellas, y conociendo la velocidad de la Tierra alrededor del Sol, encontró un valor para la velocidad de la luz de 301,000 km / s.

La primera medida de c que no hizo uso de los cielos fue por Armand Fizeau en 1849. Utilizó un haz de luz reflejado desde un espejo a 8 km de distancia. El rayo apuntaba a los dientes de una rueda que giraba rápidamente. La velocidad de la rueda aumentó hasta que su movimiento fue tal que el paso bidireccional de la luz coincidió con un movimiento de la circunferencia de la rueda por un diente. Esto dio un valor para c de 315,000 km / s. Leon Foucault mejoró este resultado un año después usando espejos giratorios, lo que dio un valor mucho más preciso de 298,000 km / s. Su técnica fue lo suficientemente buena como para confirmar que la luz viaja más lentamente en el agua que en el aire.

Después de que Maxwell publicó su teoría del electromagnetismo, se hizo posible calcular la velocidad de la luz indirectamente midiendo la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica del espacio libre. Weber y Kohlrausch lo hicieron por primera vez en 1857. En 1907, Rosa y Dorsey obtuvieron 299.788 km / s de esta manera. Era el valor más preciso en ese momento.

Posteriormente, se emplearon muchos otros métodos para mejorar aún más la precisión de la medición de c , de modo que pronto se hizo necesario corregir el índice de refracción del aire ya que c es la velocidad de la luz en el vacío. En 1958, Froome obtuvo un valor de 299,792.5 km / s utilizando un interferómetro de microondas y un obturador de celda Kerr. Después de 1970, el desarrollo de láseres con una estabilidad espectral muy alta y relojes de cesio precisos permitieron mediciones aún mejores. Hasta entonces, la definición cambiante del medidor siempre se había mantenido por delante de la precisión en las mediciones de la velocidad de la luz. Pero en 1970 se había alcanzado el punto en el que se conocía la velocidad de la luz dentro de un error de más o menos 1 m / s. Se hizo más práctico fijar el valor de c en la definición del medidor y usar relojes atómicos y láseres para medir distancias precisas. Hoy en día, la velocidad de la luz en el vacío se define para tener un valor fijo exacto cuando se administra en unidades estándar. Desde 1983, el medidor se ha definido por acuerdo internacional como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1 / 299,792,458 de segundo. Esto hace que la velocidad de la luz sea exactamente 299,792.458 km / s. (Además, dado que la pulgada ahora se define como 2,54 centímetros, la velocidad de la luz también tiene un valor exacto en unidades imperiales). Esta definición solo tiene sentido porque la velocidad de la luz en el vacío se mide para que todos los observadores tengan el mismo valor; hecho que está sujeto a verificación experimental (consulte el artículo de preguntas frecuentes sobre relatividad ¿Es constante la velocidad de la luz?). Todavía se necesitan experimentos para medir la velocidad de la luz en medios como el aire y el agua.

James Clerk Maxwell tomó las ‘Leyes’ derivadas experimentalmente de la electricidad y el magnetismo (por Faraday, Ampere …) y derivó sus famosas ecuaciones de electromagnetismo. Descubrió que las ondas EM se propagaban a una velocidad relacionada con los valores de la permeabilidad y la permisividad del espacio libre. Ahora esos valores se habían determinado experimentalmente, por lo que calculó la velocidad de propagación de las ondas EM. Resultó que esta velocidad coincidía con la “velocidad de la luz” determinada experimentalmente . La conclusión que sacó fue que las ondas EM y las ondas de luz eran lo mismo.

Las cosas son diferentes ahora. La velocidad de la luz se ha definido como 299,792,458 m / s (gracias Google). ¡No puede medirlo y si lo intenta, probablemente encontrará cuánto mide un metro!

Sí, fue teóricamente predicho por James Clark Maxwell, el gran físico británico. Maxwell descubrió esa velocidad con respecto a las ondas electromagnéticas primero. Como se descubrió que la Luz viajaba a esa velocidad también, Maxwell dedujo que la luz también tendría que ser una onda electromagnética, ya que viajaba a la misma velocidad que la onda EM. ¡Y tenía razón! Debo señalar que los primeros descubrimientos experimentales sobre el electromagnetismo y las líneas de fuerza que crean un campo de fuerza surgieron del incomparable trabajo del gran físico experimental y químico de genio, (Sir) Michael Faraday, FRS. Maxwell tuvo largas discusiones con él y resolvió la simetría matemática y las famosas ecuaciones de Maxwell sobre electromagnetismo. La predicción teórica de la velocidad de la onda EM, o la velocidad de la luz, también se demostró experimentalmente, muchas veces en los primeros experimentos realizados en la luz y posteriormente … Kaiser T, MD.

Sí, se ha derivado de las ecuaciones de Maxwell:

Ecuaciones de Maxwell – Wikipedia

utilizando permitividad eléctrica verificada experimentalmente y permeabilidad magnética del vacío.

Sí, en realidad … Maxwell presentó su ecuación de onda para el electromagnetismo en 1862 … publicada en 1865. En eso es una derivación para la velocidad de las ondas electromagnéticas que solo depende de constantes físicas, lo que sugiere que también es una constante física.

La velocidad sugerida ha sido verificada desde entonces.

No puede haber una derivación teórica para c porque es solo una conversión de unidad entre intervalos de tiempo e intervalos de distancia. Al menos eso es cierto en nuestra mejor teoría actual, la relatividad. Pedir una derivación teórica es como pedir una derivación teórica de por qué hay doce pulgadas en un pie.