En un álgebra supersimmética, ¿por qué el paréntesis entre las cargas bosónicas y las cargas fermiónicas es un conmutador en lugar de un anticommutador?

En un álgebra graduada como esa, el anticommutador solo aparece entre dos objetos fermiónicos. Todos los demás conmutadores naturales clasificados son conmutadores.

Esta elección de signo no es más que una manifestación del hecho de que [matemáticas] (- 1) (- 1) = + 1 [/ matemáticas]. El conmutador general calificado es

[matemáticas] [F, G] _g = FG – (- 1) ^ {| F | \ cdot | G |} GF [/ matemáticas]

donde el exponente es igual al producto de las graduaciones de los dos observables, que son un número entero par como cero o un número impar como uno.

¿Por qué es esta la calificación natural y el signo relativo? Porque una cantidad bosónica puede representarse como un producto de dos fermiónicos. Imaginemos que [matemáticas] B_1 = F_1 F_2 [/ matemáticas] es un observable bosónico que es el producto de dos fermiónicos. ¿Cuál es el conmutador calificado “natural” entre [matemáticas] B_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] F_3 [/ matemáticas], otro observable fermiónico?

Se reduce al hecho de que queremos una regla de Leibniz para los conmutadores de productos.

[matemáticas] [B_1, F_3] _g = F_1 [F_2, F_3] _g \ pm [F_1, F_3] _g B_2 [/ matemáticas]

que es análogo a la fórmula para el conmutador del producto de dos cantidades bosónicas con una tercera bosónica: esa fórmula sería igual que la anterior pero con un signo más.

La única forma de hacer que la identidad anterior funcione es

[matemáticas] [B_1, F_3] = [F_1F_2, F_3] = F_1 \ {F_2, F_3 \} – \ {F_1, F_3 \} B_2 [/ matemáticas]

Simplemente escriba los conmutadores y anticomutadores como la suma o diferencia de dos términos. Cuando lo haga, encontrará cuatro términos en el lado derecho, [math] F_1F_3F_2 [/ math] se cancela, y los dos términos restantes aparecen con los signos derechos, opuestos.

En otras palabras, cuando “gradúa conmutar” un objeto fermiónico a través de un objeto bosónico, es como cuando “gradúa conmutar” un objeto fermiónico a través del producto de dos fermiónicos. Y cuando haces esto último, eliges dos signos menos, uno de cada transposición del par de observables fermiónicos.

Antes de considerar los conmutadores y anticomutadores, probablemente sea más fácil considerar el caso de los “números” ordinarios cuyos conmutadores o anticomutadores son cero. Si dos números fermiónicos, es decir, de Grassmann, se combinan entre sí, está claro que deben conmutar con uno bosónico porque el viaje a través de uno bosónico, el cambio del orden, es como la permutación a través de dos fermiones u otro número par, y elegirá un número par de signos menos (multiplicativamente), lo que significa que elige un signo más.

Entonces, un número de Grassmann se conmuta con un número bosónico regular. Y los conmutadores están “deformando” esta regla básica, por lo que debe medir la desviación de la situación cuando se conmutan, y eso significa calcular el conmutador (no el anticomutador).