¿Qué tan rápido tengo que lanzar una bala de cañón de 5 lb a 5 pies y 5 pulgadas para que permanezca en órbita?

El peso de la bola de cañón no importa (siempre que su masa se considere insignificante en comparación con la masa de la Tierra). Establecería la ecuación para la aceleración centrípeta requerida para un movimiento circular uniforme (a = v ^ 2 / r) igual a la aceleración centrípeta causada por la fuerza gravitacional que actúa sobre la bola de cañón (a = F / m = G * m * M_E / (r ^ 2 * m) = G * M_E / r ^ 2) y resuelve para v, produciendo

v = SQRT (G * M_E) / r = SQRT (G * M_E) / (R_E + h)

En estas expresiones, a es la aceleración centrípeta, v es la velocidad lineal instantánea de la bola de cañón, r es la distancia entre el centro de masa de la Tierra y el centro de masa de la bola de cañón, tomada como R_E + h, donde R_E es el radio de la Tierra yh es la altitud de la bola de cañón sobre la superficie de la tierra, F es la fuerza gravitacional de la Tierra que actúa sobre la bola de cañón, m es la masa de la bola de cañón, G es la constante gravitacional y M_E es La masa de la tierra.

Si supone que la aceleración gravitacional debida a la gravedad de la Tierra en la superficie de la Tierra es un valor conocido g (9.81 m / s ^ 2), puede hacer innecesario conocer la masa de la Tierra M_E. La aceleración debida a la gravedad viene dada por

a (r) = G * M_E / r ^ 2

Diferenciar esta expresión con respecto a r:

da = -2 * G * M_E / r ^ 3 * dr

Entonces

a (R_E + h) = (aproximadamente) g – [2 * (G * M_E) / (R_E) ^ 3 * h]

1 / R_E puede factorizarse a partir del término que lo involucra, produciendo:

a (R_E + h) = g – 2 * (G * M_E) / (R_E) ^ 2 * (h / R_E)

El factor G * M_E / (R_E) ^ 2 es igual a g, entonces

a (R_E + h) = g – 2 * g * (h / R_E)

Factoriza g a partir de estos términos:

a (R_E + h) = g * [1 – 2 * (h / R_e)]

También podría obtener este resultado de la generalización de Newton del teorema binomial para 1 / (R_E + h) ^ 2 = 1 / (R_E ^ 2 * [1 + h / R_E] ^ 2), manteniendo el primer término que involucra h en la expansión de la serie para 1 / [1 + h / R_E] ^ 2, si no desea usar cálculo:

Teorema binomial – Wikipedia

Cada término de la serie es mucho más pequeño que el término anterior si h / R_E <<1 (que hemos supuesto).

Luego, establezca la expresión para la aceleración debida a la gravedad, a (R_E + h) = g * [1 – 2 * (h / R_E)], igual a la aceleración centrípeta requerida para un movimiento circular uniforme, como antes, para resolver v :

a (R_E + h) = g * [1 – 2 * (h / R_E)] = v ^ 2 / (R_E + h)

y resuelve para v:

v = SQRT ([g * [1 – 2 * (h / R_E)]] * [R_E + h])

A menudo cometo errores simples (LOL). Lo siento si algo de esto te engañó.

Hagamos algunas suposiciones:

• La tierra es una esfera perfecta con densidad esféricamente simétrica.
• No hay resistencia al aire
• Ignora los cinco pies y cinco pulgadas porque en comparación con el radio de la Tierra, es bastante insignificante

La Ley de Gravitación Universal de Newton dice que la fuerza de gravedad está dada por la relación

[matemáticas] F_ {grav} = \ dfrac {Gm_1m_2} {r ^ 2} [/ matemáticas].

Si el objeto de masa [matemática] m_2 [/ matemática] está viajando en una trayectoria perfectamente circular, su fuerza centrípeta está dada por

[matemáticas] F_ {centrip} = m_2 \ dfrac {v_ {orbe} ^ 2} {r} [/ matemáticas]

donde [math] v_ {orb} [/ math] es la velocidad orbital del objeto.

Para el objeto que rodea la Tierra, la fuerza centrípeta y la fuerza gravitacional son las mismas, por lo que puede igualar las dos expresiones:

[matemáticas] \ dfrac {Gm_1m_2} {r ^ 2} = m_2 \ dfrac {v_ {orbe} ^ 2} {r} [/ matemáticas].

Después de cancelar una [matemática] r [/ matemática] y [matemática] m_2 [/ matemática] puedes resolver la velocidad orbital para encontrar que

[matemáticas] v_ {orbe} = \ sqrt {\ dfrac {Gm_1} {r}} [/ matemáticas].

Ahora todo lo que queda es conectar la masa de la tierra, el radio de la tierra y la constante [matemática] G [/ matemática] de Newton.

Indudablemente, podría usar alguna ecuación para esto, pero no sé esa ecuación, así que esto es lo que haría en su lugar. Lo que quieres hacer es hacerlo de modo que la fuerza gravitacional que actúa sobre la bola de cañón tenga que hacer algo diferente a tirar del objeto hacia abajo. Dale un trabajo diferente. En este caso, ¡haga que ese trabajo sea fuerza centrípeta! Puede calcular el radio de su órbita deseada (el radio de la tierra más 5 pies y 5 pulgadas, que, cuando se aplican las señales, terminará siendo el radio de la tierra). Luego, configure su Gm1m2 / r ^ 2 = mv ^ 2 / r. Una cosa que descubrirás bastante rápido es que la masa de la bala de cañón es completamente innecesaria. Y, por supuesto, si intentas esto de verdad, descubrirás qué tan rápido debe moverse esta cosa y, por supuesto, que habrá problemas como montañas y fricciones en el camino. ¡Que te diviertas!