La respuesta corta es que necesita alcanzar la velocidad orbital antes de correr hacia la Tierra. La velocidad orbital es de aproximadamente 7.9 km / s, y tenemos [matemática] v = en [/ matemática]. Desea 1 g de aceleración (9.8 [matemática] m / s ^ 2 [/ matemática]), entonces [matemática] t = 7900 / 9.8 = 806 [/ matemática] segundos. Entonces, si pudieras acelerar en un tubo sin fricción y sin aire, sin luchar contra la gravedad de la Tierra (en otras palabras, el tubo estaría en la superficie de la Tierra), podrías alcanzar la velocidad orbital en poco más de 13 minutos. Por supuesto, el tubo debería ser muy largo: [matemática] s = at ^ 2/2 = \ frac {9.8 \ times 8.06 ^ 2 \ times 10 ^ 4} {2} = 3.95 \ times 10 ^ 5 [/ matemáticas], o un poco menos de 400 km, aproximadamente la distancia entre San Francisco y Los Ángeles.
Combinando [matemática] s = \ frac {en ^ 2} {2} [/ matemática] y [matemática] v = en [/ matemática], tenemos [matemática] t = \ frac {v} {a}, s = \ frac {av ^ 2} {2a ^ 2} = \ frac {v ^ 2} {2a} [/ math]. Como [matemática] v = 7900, v ^ 2/2 = 3120 [/ matemática] km, entonces la respuesta básica es que su tubo tendrá un poco más de 3100 km de largo dividido por la aceleración (en m / s)
El verdadero problema (descuidando el hecho de que no podemos hacer tubos sin fricción, etc.) es que en el extremo de expulsión golpearías la atmósfera a velocidad orbital. Esto es lo que hace una nave espacial reentrada, y es posible que haya notado que se calienta un poco cerca de la nave espacial, y la nave espacial se ralentiza drásticamente, a una velocidad esencialmente cero con respecto al suelo. Entonces golpearías una pared de aire que te quemaría y detendría, no necesariamente en ese orden. Y si superaste eso, dado que la Tierra no es una esfera perfecta, te chocarías con una montaña a 7.9 km / s, con efectos bastante dramáticos en ti y en la ladera de la montaña.
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Ah Así que vamos a inclinar nuestro mítico tubo sin aire sin fricción para que su extremo esté por encima de la atmósfera. De hecho (qué diablos) hagámoslo vertical. En este punto, tenemos un gee solo para luchar contra la gravedad, además de lo que sea que vamos a acelerar. Decidimos que estamos preparados para vivir con un 10% más de peso, por lo que aceleraremos a 1.1 gee, o 10.78 [matemática] m / s ^ 2 [/ matemática]; redondeemos y llamemos 10.8. Pero solo [matemáticas] 1 m / s ^ 2 [/ matemáticas] de eso realmente aumenta nuestra velocidad, por lo que necesitaremos 7900 segundos, un poco más de dos horas. ¡Pero el tubo se puso enorme! Son 3120 km. Eso es lo suficientemente alto como para que la aproximación constante que usamos para la gravedad de la Tierra no sea suficiente, por lo que el tubo y nuestro tiempo en él se acortan. Y no podemos construir torres de 3120 km (si pudiéramos, simplemente construiríamos un ascensor espacial y ya habríamos terminado).
Hmm Vertical es exagerado solo para salir de la atmósfera, que alcanza un máximo de 200 km más o menos. ¿Y si hiciéramos un tubo en ángulo, cuya cima estaba a 200 km? Una vez más, queremos acelerar a un ritmo agradable y fácil.
Deje que el ángulo del tubo sea [matemática] \ theta [/ matemática]. Nuestra aceleración con respecto a la Tierra es [matemática] 9.8 \ cos \ theta [/ matemática], por lo que el tiempo es [matemática] \ frac {7900} {9.8 \ cos \ theta} [/ matemática], y la longitud de nuestro tubo es [math] d = \ frac {3120} {9.8 \ cos \ theta} [/ math] km. La altura de la boca del tubo es solo [matemática] d \ sin \ theta = \ frac {3120 \ sin \ theta} {9.8 \ cos \ theta} [/ matemática], y queremos que sea de 200 km, entonces
[matemáticas] \ tan \ theta = \ frac {1960} {3120} [/ matemáticas]
Esto funciona para [matemáticas] \ theta \ aprox 32 ^ \ circ [/ matemáticas]. La longitud horizontal a lo largo del suelo será de unos 350 km.
Ahí vas. ¿Quieres llegar a la órbita a una velocidad agradable y fácil? Simplemente construya un tubo sin aire y sin fricción de aproximadamente 980 km de largo, en ángulo en [matemáticas] 32 ^ \ circ [/ matemáticas] al suelo. El extremo superior estará a 200 km de altura, por lo que estará por encima de la atmósfera, y la distancia horizontal desde el extremo inferior hasta la última estructura de soporte será de unos 350 km. Construir las estructuras de soporte para el extremo superior podría ser un poco difícil .
Bueno eso fue divertido. Pero un acelerador como el que describí sería bastante práctico en un cuerpo sin aire como la Luna. Te dejaré divertirte calculando su longitud: ten en cuenta que no necesitaría ser muy alto, solo lo suficientemente alto para que tu nave espacial pueda despejar cualquier pico.
