¿Quién descubrió las matemáticas de integración?

Esta es una pregunta con muchas respuestas (no respuestas alternativas, respuestas parciales acumulativas).

No es posible una respuesta coherente sin un llamamiento más general al desarrollo de conceptos analíticos. Esta es un área muy grande, difícil para nosotros por la dificultad de pensar en el período premoderno, cuando los conceptos estaban nublados y disputados, y los resultados ocasionalmente eran atrozmente incorrectos.

El uso de métodos analíticos (“agotamiento”) para encontrar, por ejemplo, el área dentro de una curva plana, se remonta al menos a Arquímedes, y fue recogido por otros y extendido. No sé qué pasó en la sucesión islámica a la tradición griega; Todo lo que he escuchado es algebraico, pero podría ser simplemente ignorante.

Cuando se reanudó el trabajo en Europa sobre problemas similares, el método de agotamiento fue el de los trabajadores. James Gregory, maldito por ser un muy buen matemático mientras Newton era Newton, escribió quizás el último y más grande compendio del método de exhusustions, aunque solo lo sé por oídas. El predecesor de Newton como profesor de Lucasian en Cambridge, su mentor y mecenas en matemáticas, fue Isaac Barrow, quien observó que la cuadratura (“integración”) y encontrar la pendiente de una tangente (“diferenciación”) son operaciones inversas.

Cuando Newton estaba escribiendo, otros autores (una lista de nombres deberían seguir aquí, pero mi memoria para los nombres es muy mala) ya estaban acostumbrados a escribir lo que llamaríamos integrales de polinomios término por término en el estilo moderno, sin más esfuerzo dedicado a la invocación explícita de “agotamientos” de lo que un escolar moderno dedica a mencionar “límites”.

La generalidad completa del método no se bosquejó realmente hasta Newton y Leibniz.

El análisis permaneció dolorosamente incapaz de domesticar o descartar “infinitesimales” hasta que, aproximadamente, la transformación de Fourier (infinito) comenzó la expansión lenta y dolorosa de la noción de “función” a la generalidad total, y todos los problemas con los infinitesimales mordieron a la vez. Los agujeros a través del casco del bote eran densos en todas partes sobre su superficie. ¡Hora de empezar de nuevo!

El análisis fue reinventado desde cero; Cauchy hizo un gran progreso, y Weierstrass lo logró con firmeza. En el nuevo mundo, la formulación estándar de integración se convirtió en la de Riemann.

Desde entonces, ha habido desarrollos importantes en dos direcciones diferentes.

La teoría de la medida ha agregado soporte para discontinuidades locales en integrales. Dirac comenzó a usar cosas extrañas mal llamadas funciones [matemáticas] \ delta [/ matemáticas] como factores en integrales (típicamente en convoluciones), y eventualmente los matemáticos reajustaron una justificación para ellas.

La otra línea, que hasta ahora no ha sido muy fructífera, ha sido regresar, con todos los recursos modernos, para rehabilitar los infinitesimales. Esta rama del “análisis no estándar” fue esencialmente el trabajo de un hombre, Abraham Robinson. ¡Fue al menos un rescate profundamente satisfactorio de los primeros dos mil años de análisis!