¿Por qué las preguntas son realmente difíciles de responder en la ciencia?
Obviamente, puede escribir la ley de fuerza de Lorentz:
[matemáticas] \ vec {F} = q (\ vec {E} + \ vec {v} \ times \ vec {B}) [/ matemáticas]
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e inmediatamente es obvio que una partícula que se mueve en la dirección de un campo magnético no experimentará una fuerza porque el producto transversal de la velocidad con el campo magnético se desvanece cuando ambos están en la misma dirección.
Pero mostrar que algo es cierto no es realmente el “por qué”, es solo el “cómo”. ¿Por qué es necesario profundizar más? ¿Por qué la ley de fuerza de Lorentz se ve de esta manera? ¿Por qué no podría ser?
[matemáticas] \ vec {F} = q \; \ vec {v} \; | \ vec {B} | [/ matemáticas]
¿o algo mas? La respuesta es que no puede ser.
La mayoría de las veces no podemos responder a las preguntas de Por qué, ya sea como resultado de historias (por ejemplo, accidentes históricos) o no entendemos la ciencia lo suficientemente bien como para responder a estas preguntas. Me han dicho que les digo a los jóvenes científicos que no se centren en las preguntas del “por qué” porque terminarán en las madrigueras de los conejos y con frecuencia surgirán meses después sin nada que mostrar.
En este caso, sabemos la respuesta a esta pregunta. Debo advertirle que algunos de los detalles requerirán una física de segundo o tercer nivel, pero la frase clave es “porque [matemáticas] E = mc ^ 2 [/ matemáticas]”.
Además, esto no es novedoso, la mayoría de los físicos conocen la respuesta a esta pregunta y se encuentra en la sección titulada “las fuerzas son raras en la relatividad” con un subtítulo “es por eso que nadie habla de las fuerzas en la relatividad”.
Una cosa que será importante notar sobre la parte magnética de la ley de fuerza de Lorentz es que la fuerza es perpendicular a la velocidad. Esto resultará ser la clave.
Más allá de la relatividad especial infantil
Las leyes de la naturaleza son relativistas. Uno de los famosos resultados de la Relatividad Especial es “[matemáticas] E = mc ^ 2 [/ matemáticas]”.
Así no es como los físicos piensan acerca de la energía y la masa en la Relatividad Especial: la mayoría de nosotros considera que esta fórmula es increíblemente engañosa para las personas sin capacitación en Relatividad Especial.
Al igual que el espacio y el tiempo se combinan en un solo objeto:
[matemáticas] x_ \ mu = (ct, x, y, z) [/ matemáticas]
un 4-vector, energía-momento se combinan en el momento 4-vector:
[matemáticas] p ^ \ mu = (E / c, p_x, p_y, p_z) [/ matemáticas]
donde [math] \ mu [/ math] es un índice que se ejecuta en las 4 dimensiones del espacio-tiempo. [math] E = mc ^ 2 [/ math] surge del producto dot momentum consigo mismo.
La geometría de la relatividad especial es un poco extraña en relación con la geometría euclidiana y se conoce como geometría de Minkowski. Cuando toma el producto punto entre dos vectores, en lugar de sumar los cuadrados de todos los componentes, hay un “tensor métrico” (una matriz) entre los dos vectores que da vuelta el signo de los componentes espaciales en relación con los componentes del tiempo del vector:
[matemáticas] p \ cdot p = p ^ \ mu \ eta _ {\ mu \ nu} p ^ \ nu = E ^ 2 / c ^ 2 – p_x ^ 2 – p_y ^ 2 – p_z ^ 2 = m ^ 2 c ^ 2 [/ matemáticas]
cuando una partícula está en reposo, [math] p_x, p_y, p_z = 0 [/ math], luego [math] E = mc ^ 2. [/ math]
Estos signos negativos en la métrica hacen que la geometría de la relatividad especial sea realmente confusa, pero en última instancia es lo que distingue el tiempo del espacio, lo cual es algo importante porque el espacio y el tiempo no se parecen en lo más mínimo y estos signos negativos son la diferencia principal .
Velocidades y aceleraciones en relatividad
Al igual que en la física newtoniana normal, el vector de velocidad es la masa dividida del vector de momento:
[matemáticas] u = p / m [/ matemáticas]
con ser un vector de velocidad de 4 dimensiones donde hay una noción de velocidad en la dirección del tiempo. Usando las definiciones anteriores, el producto punto 4-dimensional de la velocidad consigo mismo es
[matemáticas] u \ cdot u = c ^ 2. [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que esto es lo mismo para todas las partículas, siempre. Ahora, si tomamos la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, vemos:
[matemáticas] \ dot {u} \ cdot u = 0 [/ matemáticas]
porque la velocidad de la luz es constante. Dado que la derivada de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración, enviamos el hecho de que la aceleración es perpendicular a la velocidad
[matemáticas] a \ cdot u = 0. [/ matemáticas]
Esto es cierto en la relatividad especial. Además, si multiplicamos esta ecuación por masa, terminamos con
[matemáticas] m \; a \ cdot u = f \ cdot u = 0 [/ math]
Entonces, en la relatividad especial, la fuerza siempre es perpendicular a la velocidad. Ahora, estos son 4 vectores, por lo que no es tan trivial como 3 vectores, pero aún así, esto es extrañamente específico.
Tenga en cuenta que esta es la propiedad de la ley de fuerza de Lorentz que señalé. No dice de inmediato que la fuerza de una partícula se mueve en la dirección del campo magnético, pero está empezando a oler bien.
Leyes de fuerza relativista satisfactorias
Entonces necesitamos resolver la ecuación:
[matemáticas] f \ cdot u = 0 [/ matemáticas]
donde [math] f [/ math] puede ser una función de campos (cantidades funcionales que dependen del espacio) y también pueden ser funciones de la velocidad. Esto termina siendo un conjunto bastante pequeño de cantidades para jugar.
Si comienzas a pensar en los tipos de estructuras que pueden satisfacer esta ecuación, las primeras clases generales que se te ocurren son
[matemáticas] f ^ \ mu = F ^ {\ mu \ nu} u_ \ nu [/ matemáticas]
donde [matemática] F ^ {\ mu \ nu} [/ matemática] es el campo electromagnético y es un tensor simétrico oblicuo: [matemática] F ^ {\ mu \ nu} = – F ^ {\ nu \ mu} [ /matemáticas]. Esto satisface la pregunta porque
[matemáticas] u_ \ mu f ^ \ mu = u_ \ mu F ^ {\ mu \ nu} u_ \ nu = – u_ \ mu F ^ {\ nu \ mu} u_ \ nu = 0 [/ matemáticas]
debido a la asimetría de simetría del campo electromagnético.
Si llama a [math] F ^ {0i} = E ^ i / c [/ math] y [math] F ^ {ij} = \ epsilon ^ {ijk} B ^ k [/ math] termina exactamente con Ley de fuerza de Lorentz:
[matemáticas] f ^ i = E ^ i + \ epsilon ^ {ijk} v ^ j B ^ k \ Rightarrow \ vec {f} = \ vec {E} + \ vec {v} \ times \ vec {B}. [/matemáticas]
Entonces, la fuerza relativista más simple posible es la ley de fuerza de Lorentz.
Leyes de fuerza no Lorentz
Para completar, hay otras posibilidades para fuerzas relativistamente consistentes:
[matemáticas] f ^ \ mu = \ parcial ^ \ mu \ phi (x) [/ matemáticas]
o
[matemáticas] f ^ \ mu = \ Gamma ^ {\ mu \ nu} {} _ \ sigma u_ \ nu u ^ \ sigma [/ matemáticas]
La primera es una fuerza potencial escalar, la segunda es la ley de fuerza de la gravedad de la Relatividad General. Quizás la primera sea más simple que la ley de fuerza de Lorentz (aunque no lo creo), pero la segunda es definitivamente más complicada.