Para hablar de esto de manera significativa, necesitará usar la aproximación de onda corta de Isaacson, donde escribimos
[matemáticas] g _ {\ mu \ nu} = \ tilde {g} _ {\ mu \ nu} + h _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas]
donde [math] \ tilde {g} _ {\ mu \ nu} [/ math] es una métrica de “fondo” y [math] h _ {\ mu \ nu} [/ math] es una perturbación que conlleva el comportamiento ondulatorio. Probablemente esté preguntando acerca de la magnitud de [math] h _ {\ mu \ nu} [/ math], que es qué tan fuertes son las ondas gravitacionales (en oposición al campo de fondo).
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Ahora que sabemos de qué estamos hablando, podemos aproximarnos a otra cantidad, llamada cepa, que es, de manera confusa, representada por la letra [math] h [/ math], y se define de tal manera que, para un objeto de longitud [matemáticas] L [/ matemáticas],
[matemáticas] h = \ dfrac {2 \ Delta L} {L} [/ matemáticas]
donde [matemática] \ Delta L [/ matemática] es la cantidad que cambia la longitud del objeto debido a que la onda gravitacional se estira y se aprieta. En el límite de campo débil de un binario circular (que no es particularmente preciso para las fusiones de agujeros negros reales, pero está lo suficientemente cerca como para darle una idea de cómo es), tenemos
[matemáticas] h \ aprox \ dfrac {GM} {c ^ 2 r} \ dfrac {v ^ 2} {c ^ 2} [/ matemáticas]
para que pueda conectar los valores que desee para la masa, la distancia y la velocidad (que los objetos se mueven) y obtener un valor para la tensión. En cuanto a por qué la tensión se cae como [matemáticas] \ frac {1} {r} [/ matemáticas], piense en la conservación de la energía: a medida que las ondas se mueven hacia afuera, su energía está contenida en la capa esférica 2-d cuya área aumenta a medida que [matemáticas] r ^ 2 [/ matemáticas]. Pero el volumen del espacio aumenta a medida que [math] r ^ 3 [/ math], por lo que la energía que se ve desde el campo en un punto a una distancia [math] r [/ math] disminuye a medida que [math] \ frac {r ^ 2} {r ^ 3} = \ frac {1} {r} [/ math]. Este es el mismo argumento utilizado con las ondas electromagnéticas.
