Este es un problema interesante, y es mucho más sutil (y difícil) de lo que uno pensaría. Para empezar, la energía potencial gravitacional no está definida por U = mgh. Eso solo es cierto cerca de la superficie de la tierra cuando un objeto está a una altura h por encima de un punto donde la energía potencial se define como cero. Esto se debe a que el concepto de energía potencial es muy sutil, y generalmente solo nos importa cómo cambia con un cambio de posición.
Por ejemplo, si colocamos un bloque en una mesa, definimos que la superficie de la mesa está en energía potencial cero, elevamos el bloque una altura h por encima de la mesa, entonces decimos que el bloque tiene una energía potencial de mgh. Pero si la mesa en sí tiene una altura de H , entonces, sin mover más el bloque, diríamos que tiene una energía potencial de mg (H + h) con respecto al piso. Eso significa que solo podemos definir la energía potencial de un objeto con respecto a alguna otra posición donde la energía potencial se define como cero. Esa es la sutileza del concepto.
El concepto de energía potencial es útil si hablamos del cambio en la energía potencial cuando el objeto cambia de posición. Dado eso, el cambio en la energía potencial cuando se levanta un bloque, una cantidad h viene dada por ∆U = mgh siempre que la fuerza gravitacional ( mg ) no cambie en esa distancia h. Tenga en cuenta que el cambio en la energía potencial no depende de si el cero de energía potencial es el piso o la mesa (o el techo, para el caso).
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Pero, ¿cómo definimos la energía potencial gravitacional debido a la fuerza gravitacional de la Tierra si no estamos ubicados cerca de la superficie de la Tierra? Creo que eso es lo que esta pregunta hace.
Comencemos diciendo lo que no es. La energía potencial gravitacional no es solo la fuerza gravitacional en algún punto por cierta distancia. Esto se debe a que la energía potencial gravitacional en sí misma requiere primero definir dónde su valor sería cero. Lo que podemos decir es que el cambio en la energía potencial gravitacional si el cambio en la posición de la masa m es lo suficientemente pequeño como para que la fuerza en sí no cambie significativamente se puede escribir ∆U = F (r) • ∆r, donde F (r) es la fuerza gravitacional en ese radio desde el centro de la tierra y ∆r es el cambio de radio (donde ∆r es mucho más pequeño que r).
Es útil en esta discusión recordar que la fuerza gravitacional que actúa sobre una masa m debido a la tierra (cuya masa es M ) está dada por la Ley Universal de Gravitación de Newton:
Eso significa que mientras el cambio de posición ( ∆r ) sea pequeño, el cambio en la energía potencial puede escribirse
Pero, ¿cuál sería el cambio en la energía potencial si el cambio en la distancia desde el centro de la Tierra no fuera pequeño, por ejemplo, si aumentara la distancia de digamos r a 2 r ? Eso requiere que calcules el cambio integrando la función de fuerza gravitacional sobre ese cambio o si ya has determinado una función de energía potencial general, que luego podrías evaluar en esas dos posiciones. Es decir,
donde aparece el signo “-” porque la fuerza gravitacional es atractiva hacia la tierra, mientras que dr representa un aumento en r.
O, necesitamos encontrar una expresión general para la energía potencial gravitacional para cualquier distancia r del centro de la tierra y evaluar
En realidad, es posible definir de manera única una función que represente la energía potencial gravitacional como una función de la distancia r desde el centro de la tierra, si asignamos el cero de esa energía potencial a estar infinitamente lejos de la tierra, es decir, donde la gravedad la fuerza sobre alguna masa m sería cero ya que r sería infinitamente grande. Esa función resulta ser
Observe que es cero cuando r es infinito. También tenga en cuenta que siempre es negativo. Entonces, a medida que un objeto llega a la Tierra desde el infinito, su energía potencial gravitacional disminuye (lo que significaría que su energía cinética aumentaría a medida que cayera hacia la Tierra, por supuesto).
Entonces, si un objeto de masa m aumenta su distancia desde el centro de la tierra de r a r + ∆r , su cambio en la energía potencial gravitacional sería
Y si ∆r es muy pequeño en comparación con r , esto se reduce a
Tenga en cuenta que si ∆r es positivo, es decir, si aumenta la distancia desde el centro de la tierra, entonces el cambio en la energía potencial también es positivo. Eso solo significa que debes trabajar contra la fuerza gravitacional para alejar algo de la tierra. Observe también que esto es exactamente consistente con el caso más simple de levantar algo a una altura h de la superficie de la tierra. Es decir, cerca de la superficie de la tierra, donde la distancia desde el centro de la tierra es R
Entonces el cambio en la energía potencial sería
tal como lo sospechábamos.
Como dije al principio, este es un problema muy interesante y mucho más sutil de lo que uno pensaría. La energía potencial gravitacional no es solo mgh , sino que mientras el cambio de posición sea bastante pequeño, el cambio en la energía potencial puede expresarse como la fuerza gravitacional a esa distancia particular r desde el centro de la tierra multiplicada por el cambio de posición ∆r . Y cerca de la superficie de la tierra, eso se reduce a solo mgh, como se esperaba.