¿Cómo cambia la energía potencial gravitacional de un cuerpo en el espacio con un cambio en la distancia desde el centro de la tierra?

Este es un problema interesante, y es mucho más sutil (y difícil) de lo que uno pensaría. Para empezar, la energía potencial gravitacional no está definida por U = mgh. Eso solo es cierto cerca de la superficie de la tierra cuando un objeto está a una altura h por encima de un punto donde la energía potencial se define como cero. Esto se debe a que el concepto de energía potencial es muy sutil, y generalmente solo nos importa cómo cambia con un cambio de posición.

Por ejemplo, si colocamos un bloque en una mesa, definimos que la superficie de la mesa está en energía potencial cero, elevamos el bloque una altura h por encima de la mesa, entonces decimos que el bloque tiene una energía potencial de mgh. Pero si la mesa en sí tiene una altura de H , entonces, sin mover más el bloque, diríamos que tiene una energía potencial de mg (H + h) con respecto al piso. Eso significa que solo podemos definir la energía potencial de un objeto con respecto a alguna otra posición donde la energía potencial se define como cero. Esa es la sutileza del concepto.

El concepto de energía potencial es útil si hablamos del cambio en la energía potencial cuando el objeto cambia de posición. Dado eso, el cambio en la energía potencial cuando se levanta un bloque, una cantidad h viene dada por ∆U = mgh siempre que la fuerza gravitacional ( mg ) no cambie en esa distancia h. Tenga en cuenta que el cambio en la energía potencial no depende de si el cero de energía potencial es el piso o la mesa (o el techo, para el caso).

Pero, ¿cómo definimos la energía potencial gravitacional debido a la fuerza gravitacional de la Tierra si no estamos ubicados cerca de la superficie de la Tierra? Creo que eso es lo que esta pregunta hace.

Comencemos diciendo lo que no es. La energía potencial gravitacional no es solo la fuerza gravitacional en algún punto por cierta distancia. Esto se debe a que la energía potencial gravitacional en sí misma requiere primero definir dónde su valor sería cero. Lo que podemos decir es que el cambio en la energía potencial gravitacional si el cambio en la posición de la masa m es lo suficientemente pequeño como para que la fuerza en sí no cambie significativamente se puede escribir ∆U = F (r) • ∆r, donde F (r) es la fuerza gravitacional en ese radio desde el centro de la tierra y ∆r es el cambio de radio (donde ∆r es mucho más pequeño que r).

Es útil en esta discusión recordar que la fuerza gravitacional que actúa sobre una masa m debido a la tierra (cuya masa es M ) está dada por la Ley Universal de Gravitación de Newton:

Eso significa que mientras el cambio de posición ( ∆r ) sea pequeño, el cambio en la energía potencial puede escribirse

Pero, ¿cuál sería el cambio en la energía potencial si el cambio en la distancia desde el centro de la Tierra no fuera pequeño, por ejemplo, si aumentara la distancia de digamos r a 2 r ? Eso requiere que calcules el cambio integrando la función de fuerza gravitacional sobre ese cambio o si ya has determinado una función de energía potencial general, que luego podrías evaluar en esas dos posiciones. Es decir,

donde aparece el signo “-” porque la fuerza gravitacional es atractiva hacia la tierra, mientras que dr representa un aumento en r.

O, necesitamos encontrar una expresión general para la energía potencial gravitacional para cualquier distancia r del centro de la tierra y evaluar

En realidad, es posible definir de manera única una función que represente la energía potencial gravitacional como una función de la distancia r desde el centro de la tierra, si asignamos el cero de esa energía potencial a estar infinitamente lejos de la tierra, es decir, donde la gravedad la fuerza sobre alguna masa m sería cero ya que r sería infinitamente grande. Esa función resulta ser

Observe que es cero cuando r es infinito. También tenga en cuenta que siempre es negativo. Entonces, a medida que un objeto llega a la Tierra desde el infinito, su energía potencial gravitacional disminuye (lo que significaría que su energía cinética aumentaría a medida que cayera hacia la Tierra, por supuesto).

Entonces, si un objeto de masa m aumenta su distancia desde el centro de la tierra de r a r + ∆r , su cambio en la energía potencial gravitacional sería

Y si ∆r es muy pequeño en comparación con r , esto se reduce a

Tenga en cuenta que si ∆r es positivo, es decir, si aumenta la distancia desde el centro de la tierra, entonces el cambio en la energía potencial también es positivo. Eso solo significa que debes trabajar contra la fuerza gravitacional para alejar algo de la tierra. Observe también que esto es exactamente consistente con el caso más simple de levantar algo a una altura h de la superficie de la tierra. Es decir, cerca de la superficie de la tierra, donde la distancia desde el centro de la tierra es R

Entonces el cambio en la energía potencial sería

tal como lo sospechábamos.

Como dije al principio, este es un problema muy interesante y mucho más sutil de lo que uno pensaría. La energía potencial gravitacional no es solo mgh , sino que mientras el cambio de posición sea bastante pequeño, el cambio en la energía potencial puede expresarse como la fuerza gravitacional a esa distancia particular r desde el centro de la tierra multiplicada por el cambio de posición ∆r . Y cerca de la superficie de la tierra, eso se reduce a solo mgh, como se esperaba.

Algunas respuestas parecen implicar que si usted está, por ejemplo, dos veces más lejos del centro de la Tierra, su potencial gravitacional sería menor, porque con la fórmula [matemáticas] E = mgh [/ matemáticas], [matemáticas] h [ / math] se multiplica por 2, pero [math] g [/ math] se divide por 4.

Eso es cierto con una comprensión lineal de la gravedad, pero no es así como funciona la gravedad. Si estoy muy alto (digamos que estoy en la distancia orbital de la luna) pero no estoy en órbita, todavía caeré a la Tierra y recogeré mucha energía cinética en el marco de referencia de la Tierra. Por lo tanto, debe tener en cuenta la energía potencial en cada pequeño tramo de altura. Buena suerte haciendo eso sin cálculo. Esto es lo que tenemos:

[matemáticas] E = \ int_ {h_1} ^ {h_2} mg * dh [/ matemáticas]

donde [math] h_1 [/ math] es la altura más baja (probablemente la superficie de la Tierra) y [math] h_2 [/ math] es la altura más alta (donde sea que esté el objeto). [math] m [/ math] es una constante con respecto a [math] h [/ math], por lo que podemos tratarlo como tal, pero [math] g [/ math] no es una constante, aunque podemos reemplazarlo con algo en términos de [matemáticas] h [/ matemáticas]:

[matemáticas] g = \ frac {MG} {h ^ 2} [/ matemáticas]

que se deriva directamente de la ley de gravitación de Newton. [matemática] M [/ matemática] y [matemática] G [/ matemática] son ​​la masa de la Tierra y la constante gravitacional, las cuales son, por supuesto, constantes, por lo que podemos sacarlas de la integral.

[matemáticas] E = \ int_ {h_1} ^ {h_2} m \ frac {MG} {h ^ 2} dh [/ matemáticas]

[matemáticas] E = mMG \ int_ {h_1} ^ {h_2} \ frac {1} {h ^ 2} dh [/ matemáticas]

Bastante fácil antiderivado allí:

[matemáticas] \ frac {d} {dh} (- \ frac {1} {h}) = \ frac {1} {h ^ 2} [/ matemáticas]

Entonces la antiderivada es [matemáticas] – \ frac {1} {h} [/ matemáticas]. (más una constante, pero eso no es importante aquí).

Por lo tanto, la integral definida se evalúa como

[matemáticas] (- \ frac {1} {h_2}) – (- \ frac {1} {h_1}) [/ matemáticas]

Simplificado:

[matemáticas] \ frac {1} {h_1} – \ frac {1} {h_2} [/ matemáticas]

o puedes condensarlo un poco así:

[matemáticas] h_1 ^ {- 1} -h_2 ^ {- 1} [/ matemáticas]

Luego, conéctelo nuevamente a la fórmula original y obtendrá su fórmula general de energía potencial. Recuerde que [math] h_1 [/ math] es probablemente solo el radio de la Tierra, [math] M [/ math] es la masa de la Tierra, [math] m [/ math] es la masa del objeto, [ math] h_2 [/ math] es la altura del objeto (desde el centro de la Tierra, no desde el suelo), y [math] G [/ math] es la constante gravitacional newtoniana, que no es lo mismo que “pequeño g “, que representa la aceleración gravitacional de la Tierra al nivel del mar. “Gran G” es una constante universal igual a alrededor de 0.0000000000667408 metros cúbicos por kilogramo de segundo cuadrado. (Las unidades están en su mayoría ahí solo para meterse con tu cabeza, pero tienen que estar allí o de lo contrario las matemáticas no funcionan bien).

[matemáticas] E = mMG (h_1 ^ {- 1} -h_2 ^ {- 1}) [/ matemáticas]

Oh, también puedes idear fácilmente la fórmula para la velocidad de escape con eso. Para “escapar”, debes tener suficiente energía para revertir toda la energía potencial negativa que tienes al estar en un pozo de gravedad, por lo que [math] h_2 [/ math] tiene que ir al infinito. Su recíproco claramente iría a cero, por lo que ese término desaparece. Además, [math] h_1 [/ math] es solo el radio del planeta, por lo que la energía potencial total (negativa) es

[matemáticas] E = \ frac {mMG} {r} [/ matemáticas]

Como sabemos que la fórmula para que la energía cinética sea [matemática] E = \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemática], sustituyamos eso en:

[matemáticas] \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {mMG} {r} [/ matemáticas]

Las masas se cancelan, por lo que la velocidad de escape no depende de la masa del objeto que se escapa (a menos que tenga una atracción gravitacional significativa, que casi siempre no tiene).

[matemáticas] \ frac {1} {2} v ^ 2 = \ frac {MG} {r} [/ matemáticas]

[matemáticas] v ^ 2 = \ frac {2MG} {r} [/ matemáticas]

[matemáticas] v = \ sqrt {\ frac {2MG} {r}} [/ matemáticas]

ahí tienes.

¡Cambia! Para ser justos, realmente no nos has dado mucho para seguir aquí, y hay algunas variaciones bastante grandes. La luna, el sol, el supuesto agujero negro en el centro de la galaxia, el aterrizador de Marte. En general, la energía potencial aumenta por la distancia del cuerpo con la fuerza de gravedad más fuerte. No se revela la relación de la atracción de gravitación más fuerte con el centro de la tierra.

Potencial gravitacional cada se define como

Ug = mgh

A medida que te alejes de la tierra, no solo cambiará h, sino que también g.

A G se le da comúnmente el valor de 9.8 m / s ^ 2, pero el valor real de g se define como

g = G (m1 * m2) / r ^ 2

Donde m1 es la masa de la tierra, m2 es la masa del segundo objeto, r es el radio (distancia desde el centro de la tierra hasta el objeto) y G es la constante gravitacional.