¿Por qué la velocidad relativa es igual a la diferencia de velocidad entre dos objetos en la misma dirección?

En física clásica, la velocidad relativa es igual a la diferencia de velocidad entre dos objetos porque la velocidad relativa es lo que obtienes cuando vuelves a enmarcar la situación en términos de que uno de los objetos está estacionario. Este encuadre es lo que se conoce como transformación de coordenadas, específicamente un aumento de velocidad.

Considere un sistema de coordenadas donde el eje horizontal (“x”) es qué tan avanzado se ha movido un objeto y el eje vertical (“t”) es cuánto tiempo ha pasado. Tenga en cuenta que los dos ejes están en ángulo recto entre sí: si marca las líneas que representan una constante [matemática] x [/ matemática], obtendrá líneas verticales; y si marca las líneas que representan una constante [matemática] t [/ matemática], obtendrá líneas verticales. Espacio entonces uniformemente, y obtienes una cuadrícula de cuadrados:

La velocidad es el cambio de posición sobre el cambio en el tiempo: [matemática] \ frac {\ Delta x} {\ Delta t} [/ matemática], donde [matemática] \ Delta [/ matemática] significa “cambio en”. En este gráfico, una línea vertical significa que [matemáticas] \ Delta x = 0 [/ matemáticas], y representa un objeto estacionario. Una línea inclinada es aquella en la que [matemática] \ Delta x [/ matemática] es proporcional a [matemática] \ Delta t [/ matemática] y representa un objeto con una velocidad constante. Un aumento de velocidad implica cambiar a un segundo sistema de coordenadas que reemplaza las líneas verticales con líneas inclinadas que representan un marco de referencia móvil:

(Ignore las “c” por ahora). Considere que la línea roja más a la izquierda es el movimiento de un objeto, mientras que la línea azul es el movimiento de un segundo objeto. El objeto rojo tiene una velocidad de dos unidades espaciales por cada cinco unidades de tiempo, o [matemáticas] \ frac {2} {5} [/ matemáticas]; y el objeto azul tiene una velocidad de cuatro unidades espaciales por cada cinco unidades de tiempo, o [math] \ frac {4} {5} [/ math]. La cuadrícula roja representa un aumento de velocidad, con [matemática] x ‘[/ matemática] y [matemática] t’ [/ matemática] representando un marco de referencia que se mueve a una velocidad de [matemática] \ frac {2} {5} [/matemáticas]. Mide el movimiento en relación con este marco de referencia móvil trazando a lo largo de las líneas de la cuadrícula roja. Entonces, de acuerdo con la cuadrícula roja, el objeto rojo es estacionario (cero unidades espaciales por cinco unidades de tiempo) y la línea azul se mueve dos unidades espaciales por cada cinco unidades de tiempo. Esta es la velocidad relativa entre los dos objetos.

Matemáticamente, usted define la cuadrícula roja como [matemática] x ‘= x-vt [/ matemática] y [matemática] t’ = t [/ matemática], donde [matemática] v [/ matemática] es la velocidad que define el impulso . Recuerde que la velocidad es [matemáticas] \ frac {\ Delta x} {\ Delta t} [/ matemáticas]; eso significa que volver a enmarcarlo en términos de coordenadas rojas significa reemplazar esto con [matemáticas] \ frac {\ Delta x ‘} {\ Delta t’} [/ matemáticas], o [matemáticas] \ dfrac {\ Delta x – v \ Delta t} {\ Delta t} [/ math], o [math] \ frac {\ Delta x} {\ Delta t} -v [/ math]. Recuerde que [matemática] \ Delta x [/ matemática] y [matemática] \ Delta t [/ matemática] representan el objeto azul, mientras que [matemática] v [/ matemática] representa el objeto rojo. Esto significa que la velocidad relativa entre rojo y azul es la velocidad del objeto azul menos la velocidad del objeto rojo.

Algunas otras observaciones sobre esto:

  1. t y t ‘son lo mismo. Es decir, hay una suposición implícita de que el tiempo siempre se mide de la misma manera, sin importar las velocidades involucradas.
  2. El espacio entre las líneas inclinadas es el mismo que el espacio entre las líneas verticales. Esto significa que las mediciones de distancias relativas no cambian con un aumento de velocidad. Las posiciones cambian bajo la transformación, pero sus relaciones entre sí no.
  3. Las áreas de los paralelogramos en la cuadrícula roja son las mismas que las áreas de los cuadrados en la cuadrícula negra. Esta noción de que las áreas de los objetos geométricos que forman la cuadrícula permanecen sin cambios bajo un aumento de velocidad parece ser la más importante de estas tres observaciones; Llegaré a eso en un momento.

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OK: eso aborda la física clásica. Pero esta pregunta está etiquetada como Relatividad Especial; así que déjame abordar eso también. La relatividad especial comparte el principio de relatividad enunciado en la parte superior de esta respuesta: la velocidad relativa es lo que obtienes cuando reformulas la situación en términos de que uno de los objetos está estacionario. La diferencia es que la Relatividad Especial tiene un segundo principio, que la velocidad de la luz es la misma en todos los marcos de referencia. Esto cambia la forma en que funciona la velocidad, lo que a su vez cambia la forma en que funciona la adición de velocidad.

Para construir una transformación de impulso de velocidad de acuerdo con los principios de Relatividad Especial, comience de la misma manera que antes: inclina las líneas verticales para que coincidan con la velocidad característica del impulso. Pero en lugar de mantener las líneas horizontales iguales, mantenga las líneas diagonales iguales. (Supongo, por simplicidad, que la velocidad de la luz es una unidad de espacio por unidad de tiempo, es decir, una línea diagonal). Digo “en lugar de” porque no puedes hacer ambas cosas: si mantienes la horizontal líneas iguales, la pendiente de una línea diagonal se medirá de manera diferente en los dos sistemas de coordenadas. En cambio, debe inclinar las líneas horizontales hacia arriba en la misma cantidad que inclinó la línea vertical hacia los lados:

(Mis disculpas por cambiar el esquema de coloración; me faltan las herramientas adecuadas para hacer mis propias imágenes, por lo que tomo prestado de Internet).

Esta transformación de cuadrados de coordenadas en rombos de coordenadas mantiene la medida de una línea diagonal igual después de aplicar el impulso; nada más lo hace. Tenga en cuenta que cada rombo es más largo y más estrecho que su cuadrado correspondiente; Pero su área es la misma. De la misma manera que antes, mide la velocidad relativa trazando a lo largo de las líneas del marco de coordenadas realzado. Pero donde antes lo único que cambiaba era [matemática] \ Delta x [/ matemática], esta nueva transformación de coordenadas también cambia [matemática] \ Delta t [/ matemática]. Las matemáticas no son tan difíciles, pero son tediosas; así que voy a saltar al final y decir que de la misma manera que un aumento de velocidad clásico te da una velocidad relativa de [matemáticas] v_2-v_1 [/ matemáticas], un aumento de velocidad relativista te da una velocidad relativa de:

[matemáticas] \ dfrac {v_2-v_1} {1- \ frac {v_2v_1} {c ^ 2}} [/ matemáticas].

En otras palabras, la velocidad relativa no es igual a la diferencia de las dos velocidades en la relatividad especial.

Solo mide la diferencia cuando determina la velocidad de uno de los objetos en relación con el otro.

Si el objeto A viaja a 10 mph y el objeto B viaja 15 mph en la misma dirección, entonces el objeto B viaja 5 mph en relación con el objeto A.

En relación con el suelo, el objeto A viaja 10 mph y el objeto B 15mpg.

Al determinar la velocidad del suelo, solo importan el suelo y el objeto. Cualquier otro objeto no es importante.

Sin embargo, gracias a la teoría de la relatividad especial de Einsteins, sabemos que no es tan simple. Por supuesto, a una velocidad relativamente lenta, esta ecuación funciona lo suficientemente bien.

La ecuación real sería:

[matemáticas] V_ {relativo} = \ frac {V_ {1} -V_ {2}} {1- \ frac {V_ {1} × V_ {2}} {c ^ {2}}} [/ matemáticas]

El objeto A tiene una velocidad U y el objeto B tiene una vlocidad V.

Inherentemente, esto implica que hay un punto de referencia (marco) que está en reposo. Y con referencia a ese marco, el objeto A tiene una velocidad U y el objeto B tiene una vlocidad V.

Ahora, para encontrar la velocidad de B con respecto a A, tenemos que hacer que A descanse. Para eso aplicamos una velocidad U negativa a A.

A se detiene, ya que U -U = 0.

Pero tenemos que aplicar -U, a todos los objetos circundantes simultáneamente.

Por lo tanto, la velocidad de B con referencia a A (o relativa a A) es VU.

La velocidad relativa es básicamente la diferencia entre las dos velocidades, independientemente de la dirección en que se mueva cada una.

Si me estoy moviendo a lo largo de una carretera a una velocidad de 1 milla por hora y me pasas a 2 millas por hora yendo en la misma dirección, tu velocidad es 1 milla por hora más rápido que yo. Por lo tanto, su velocidad es de 1 milla por hora en relación a mí.

Elimine la cláusula “en la misma dirección”, y su declaración es verdadera por definición .

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