Gracias por la pregunta primero. Su pregunta me llevó a profundizar en el cálculo. Podría responder esto aburridamente … dibujando todas las estructuras isoméricas del pentadecano y diciéndole el número que quería. Pero entonces extrañaría la belleza de las matemáticas detrás de esta simple pregunta. Entonces, aquí represento todo lo que pensaba al respecto.
En primer lugar, ¿por qué pensaríamos solo en pentadecano? Ampliamos nuestra idea al alcano que consta de n número de átomos de carbono. Fórmula general: C_n H_2n + 2.
Introducimos algunos términos aquí para nuestra conveniencia de cálculo.
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Deje, x = 1 para metilo, 2 para etilo, 3 para propilo, etc.
x es el número de átomos de carbono en el grupo cuyo desplazamiento se está considerando para un conjunto.
Sea y el número de átomos de carbono sin el grupo de desplazamiento. es decir, y = nx.
P.ej. Para el pentano, primero piense en la estructura n-alquilo (n-pentilo). Si se considera el desplazamiento del grupo metilo, entonces queda el resto, es decir, la cadena de 4 carbonos.
Aquí, n = 5, x = 1 (para metilo)
Por lo tanto, y = 4 (cadena de cuatro carbonos).
Ahora, si y es impar, los isómeros (y + 1) / 2 están allí para el desplazamiento de ese grupo particular (x).
Si y es par, los isómeros y / 2 están allí para el cambio de ese grupo particular (x).
Ahora, surge la pregunta de cuánto valor de x deberíamos considerar hasta.
La condición surge de tal manera que
si {3 (x ° + 1) +1}> n> 3x °
entonces x debe considerarse hasta x = x °
Ahora, para x superior, se está considerando un nuevo conjunto de isómeros, pero algunos de los isómeros pueden ser comunes al del conjunto de isómeros más antiguo (isómeros considerados para x inferior).
Entonces, ¿cómo podemos eliminar estos isómeros adicionales?
Bueno, ahora tome un ejemplo: nonano (n = 9).
Para x = 1, y = 8
Se considera el conjunto de 4 isómeros.
El conjunto se representa a continuación:
{ CH3CH2CH2CH2CH2CH2CH2CH2-CH3,
CH3CH2CH2CH2CH2CH2CH (CH3) CH3,
CH3CH2CH2CH2CH2CH (CH3) CH2CH3,
CH3CH2CH2CH2CH (CH3) CH2CH2CH3 }
Para x = 2, y = 7
{ CH3CH2CH2CH2CH2CH2CH2CH2CH3,
CH3CH2CH2CH2CH2CH (CH3) CH2CH3,
CH3CH2CH2CH2CH (CH2CH3) CH2CH3,
CH3CH2CH2CH (CH2CH3) CH2CH2CH3 }
x = 3 no se hace porque no cumple con la desigualdad anterior.
Ahora, observe más profundamente que hay dos isómeros en el conjunto-2 (para x = 2) que se repiten. Por lo tanto, no. de nuevos isómeros a considerar bajo un conjunto particular de isómeros (por ejemplo, z) es:
z = no. de isómeros totales bajo el conjunto – (x-1) [para el desplazamiento ya considerado para valores x inferiores] – 1 [para la forma n-alquilo, ya que es común a todos los conjuntos cuando el grupo de desplazamiento está conectado al primer átomo de carbono del resto de la cadena. La forma n-alquilo no se elimina para x = 1].
Así,
Para, x = 1, z = 4- (1–1) = 4.
Para x = 2, z = 4- (2–1) -1 = 2.
Por lo tanto, el total no. de isómeros del nonano = Σz = 4 + 2 = 6.
Ahora, volviendo a su pregunta, para pentadecano, n = 15.
Para x = 1, y = 14
No total de isómeros en este conjunto = 14/2 = 7.
z = 7.
Para, x = 2, y = 13
No total de isómeros en este conjunto = (13 + 1) / 2 = 7.
z = 7- (2–1) -1 = 5.
Para, x = 3, y = 12
No total de isómeros en este conjunto = 12/2 = 6.
z = 6- (3–1) -1 = 3.
Para, x = 4, y = 11
No total de isómeros en este conjunto = (11 + 1) / 2 = 6.
z = 6- (4–1) -1 = 2.
x = 5 no se considera debido a la condición de desigualdad anterior.
Por lo tanto, el total no. de isómeros de pentadecano = Σz = 7 + 5 + 3 + 2 = 17.
