¿Cómo se relaciona la tasa de expansión con la curvatura? ¿Cómo puede un universo acelerado ser plano?

Comencemos con la ecuación de campo central de Einstein.

[matemáticas] R_ {μν} – \ frac {1} {2} Rg_ {μν} = 8πGT_ {μν} [/ matemáticas]

donde [math] R_ {μν} [/ math] es el tensor de Ricci que se forma al contraer el tensor de Riemann y el tensor de Riemann es lo que cuantifica la curvatura y es cero cuando el Universo es plano y no cero cuando el universo se aparta de planitud, y se describe mediante una combinación de derivadas parciales y símbolos de Christoffel que también son derivadas parciales.

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Para comprender cómo ha evolucionado el factor de escala en un universo en expansión homogéneo, solo tenemos que tener en cuenta el componente cero (tiempo-tiempo) de la ecuación de Einstein.

[matemáticas] R_ {00} – \ frac {1} {2} Rg_ {00} = 8πGT_ {00} [/ matemáticas]

lo que nos lleva a la primera ecuación de Friedman para un universo plano

[matemáticas] (\ frac {\ dot a} {a}) ^ 2 = \ dfrac {8πG} {3} ρ [/ matemáticas]

El lado izquierdo de la ecuación es la constante al cuadrado de Hubble, que representa la tasa de expansión.

Volvamos al tensor de Riemann. Tiene algunas propiedades de simetría que tienen que ver con las simetrías de índice y las identidades de Bianchi y considerando una variedad donde el escalar Ricci es constante sobre él, da como resultado un espacio máximo simétrico de dimensiones [matemáticas] n [/ matemáticas], donde el tensor de Riemann es:

[matemáticas] R_ {abμν} = \ dfrac {R} {n (n – 1)} (g_ {aμ} g_ {bν} – g_ {aν} g_ {bμ}) [/ math]

Si consideramos el caso donde [math] g_ {μν} = η_ {μν}, [/ math] podemos establecer:

[matemáticas] K = \ dfrac {R} {n (n – 1)} [/ matemáticas]

y lo siguiente vale:

• si [matemática] K = 0 [/ matemática], tenemos espacio Minkowski
• si [matemática] K <0 [/ matemática], tenemos espacio de Sitter
• si [matemáticas] K> 0 [/ matemáticas], tenemos espacio anti-de Sitter

Con los dos supuestos más básicos de la cosmología de que el universo es homogéneo e isotrópico, y al pasar por alto muchas matemáticas, y quiero decir muchas, terminamos con una métrica de un múltiple múltiple de máxima simétrica:

[matemática] ds ^ 2 = \ dfrac {dr ^ 2} {1 – kr ^ 2} + r ^ 2dΩ ^ 2, [/ matemática] con [matemática] dΩ ^ 2 = dθ ^ 2 + sin ^ 2θdφ ^ 2. [/matemáticas]

Este parámetro [matemática] k [/ matemática] es lo que define la curvatura de las superficies espaciales (observe que no hay ningún componente de tiempo), con [matemática] k [/ matemática] [matemática] \ en [/ matemática] ( [matemáticas] -1, 0, +1). [/ matemáticas]

En el primer caso, tenemos una curvatura negativa, es decir, el universo está abierto, en el segundo caso el universo es plano y en el tercer caso, el universo está cerrado, así:

Toda esta información está ‘encriptada’ dentro de la teoría general de la relatividad y la única forma de poder comprenderla completamente es mediante fricción. Necesita estudiar las métricas y las transformaciones y las ecuaciones de campo y familiarizarse con estos conceptos, si desea obtener una comprensión más profunda que pueda satisfacer su curiosidad cuando se trata de cosmología.

Recomiendo el siguiente libro, que es una buena lectura y proporciona una buena introducción en cosmología:

http://poincare.matf.bg.ac.rs/~z…

Y podría acompañarlo con la visualización de las conferencias en línea del Prof. Leonard Susskind que están destinadas a presentar los conceptos básicos en cosmología y GR, en términos simples. O si no es en términos simples, en el nivel de pregrado.