De la conservación de la energía, la velocidad [matemática] v [/ matemática] a la cual la Tierra golpearía la superficie del Sol en esta situación está dada por
[matemáticas] \ tfrac {1} {2} mv ^ 2 – \ frac {GMm} {R} = – \ frac {GMm} {d} [/ matemáticas]
donde [matemática] m [/ matemática] y [matemática] M [/ matemática] son las masas de la Tierra y el Sol, [matemática] R [/ matemática] es el radio del Sol, y [matemática] d [/ matemática ] es la distancia inicial de la Tierra desde el Sol (es decir, el radio aproximado de su órbita actual).
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Resolviendo, obtenemos
[matemáticas] \ begin {align *} v & = \ sqrt {2GM \ left (\ frac {1} {R} – \ frac {1} {d} \ right)} \\ & = 616 \ text {km / s}. \ end {align *} [/ math]
¡Rápido!
Además, tenga en cuenta que la masa de la Tierra termina cancelando en todas partes. Esto significa que el mismo resultado también se aplicaría a un guijarro , siempre y cuando se haya “dejado caer” desde el reposo (en relación con el Sol) desde algún lugar a lo largo de la órbita de la Tierra y solo interactúe con el Sol.
Editar:
Como Ami señala en los comentarios, esta derivación hace la aproximación de que la masa de la Tierra es insignificante en comparación con la del Sol. Esta es una buena aproximación, a menos que necesite una alta precisión, y es una aproximación aún mejor en el caso del guijarro, pero es importante recordar que está allí y cuándo es / no es válido.
