Contrariamente a la creencia (muy) popular, no se ha demostrado que la longitud de Planck sea la unidad de espacio más pequeña posible.
La longitud de Planck es parte de una serie de unidades llamadas unidades de Planck, que, como era de esperar, fueron desarrolladas por el famoso físico Max Planck [1].
Para desarrollar estas unidades, comienza con 5 constantes fundamentales:
- ¿Es la teoría de cuerdas la teoría más aterradora para el hombre?
- ¿Cuál es la teoría más completa en física?
- ¿Puedes explicarme la teoría de cuerdas, pero no demasiado básicamente?
- ¿Hay alguna forma de intentar hacer un experimento de fusión en frío en casa?
- ¿Por qué la teoría de cuerdas tiene cuerdas?
- La velocidad de la luz, [matemática] c = 299792458 [/ matemática] ms [matemática] ^ {- 1} [/ matemática] [2]
- La constante de gravitación, [matemática] G = 6.674 08 \ veces 10 ^ {- 11} [/ matemática] m [matemática] ^ 3 [/ matemática] kg [matemática] ^ {- 1} [/ matemática] s [matemática] ^ {- 2} [/ matemáticas] [3]
- La constante de Planck reducida, [matemática] \ hbar = 1.054 571 800 \ veces 10 ^ {- 34} [/ matemática] kg m [matemática] ^ 2 [/ matemática] s [matemática] ^ {- 1} [/ matemática] [4]
- La constante eléctrica, [math] \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} = [/mathfont>[mathfont>8.9875517873681764\times10^9 [/ math] kg m [math] ^ 3 [/ math] s [math ] ^ {- 4} [/ matemáticas] A [matemáticas] ^ {- 2} [/ matemáticas] [5]
- La constante de Boltzman, [math] k_B = [/mathfont>[mathfont>1.38064852 \ times 10 ^ {- 23} [/ math] kg m [math] ^ 2 [/ math] s [math] ^ {- 1} [ / matemáticas] K [matemáticas] ^ {- 1} [/ matemáticas] [6]
Para producir una unidad de Planck, simplemente necesita determinar qué combinación de estas 5 constantes necesita.
Digamos que queremos definir el tiempo de Planck, [math] t_p [/ math].
Obviamente, [math] t_p [/ math] tiene unidades de tiempo, por lo que [math] [t_p] = T [/ math], por análisis dimensional [7].
Ahora construimos lo siguiente:
[matemáticas] t_p = c ^ \ alpha G ^ \ beta \ hbar ^ \ gamma \ left (\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} \ right) ^ \ delta k_B ^ \ eta [/ math]
Donde las letras griegas son constantes desconocidas.
Mirando las unidades en la lista anterior, podemos escribir:
[matemáticas] [t_p] = [c] ^ \ alpha [G] ^ \ beta [\ hbar] ^ \ gamma \ left [\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} \ right] ^ \ delta [k_B] ^ \ eta [/ matemáticas]
[matemáticas] T = [/ matemáticas] [matemáticas] \ izquierda (LT ^ {- 1} \ derecha) ^ \ alpha \ veces [/ matemáticas] [matemáticas] \ izquierda (L ^ 3 M ^ {- 1} T ^ {-2} \ right) ^ \ beta \ times [/ math] [math] \ left (ML ^ 2 T ^ {- 1} \ right) ^ \ gamma \ times [/ math] [math] \ left (ML ^ 3 T ^ {- 4} Q ^ {- 2} \ right) ^ \ delta \ times [/ math] [math] \ left (ML ^ 2 T ^ {- 1} \ Theta ^ {- 1} \ right ) ^ \ eta [/ matemáticas]
Al hacer coincidir todos nuestros términos, obtenemos:
[matemáticas] T ^ 1 = L ^ {\ left (\ alpha + 3 \ beta + 2 \ gamma + 3 \ delta + 2 \ eta \ right)} T ^ {\ left (- \ alpha -2 \ beta – \ gamma -4 \ delta – \ eta \ right)} M ^ {\ left (- \ beta + \ gamma + \ delta + \ eta \ right)} Q ^ {- 2 \ delta} \ Theta ^ {- \ eta} [/matemáticas]
Por inspección, podemos ver de inmediato que, dado que [matemáticas] Q [/ matemáticas] y [matemáticas] \ Theta [/ matemáticas] no aparecen en el lado izquierdo, que [matemáticas] \ delta = \ eta = 0. [/ matemáticas]
Nos quedan tres ecuaciones:
[matemáticas] T: \ quad 1 = – \ alpha – 2 \ beta – \ gamma [/ math]
[matemáticas] L: \ quad 0 = \ alpha + 3 \ beta + 2 \ gamma [/ matemáticas]
[matemáticas] M: \ quad 0 = – \ beta + \ gamma [/ matemáticas]
De (M), vemos que [math] \ beta = \ gamma [/ math]
De (L), vemos que [math] \ alpha = – 5 \ beta = – 5 \ gamma [/ math]
Desde T, vemos que [matemáticas] 1 = \ left (5 -2 -1 \ right) \ beta [/ math]
Poniendo todo esto junto:
[matemáticas] \ alpha = – \ frac {5} {2} \ quad \ quad \ beta = \ frac {1} {2} \ quad \ quad \ gamma = \ frac {1} {2} [/ matemáticas]
Por lo tanto:
[matemática] \ grande \ en caja {t_p = \ sqrt {\ frac {\ hbar G} {c ^ 5}}} [/ matemática]
Entonces es simple ver que si queremos la longitud de Planck, ya que [math] v = \ frac {d} {t} [/ math], esperamos [math] l_p = v_p \ times t_p [/ math] ¡ Pero la velocidad de Planck es la velocidad de la luz!
Por lo tanto:
[matemáticas] l_p = \ sqrt {\ frac {\ hbar G} {c ^ 3}} [/ matemáticas]
Así es como se deriva la longitud de Planck.
¡Nada que ver con nada fundamental sobre la naturaleza del espacio!
Literalmente, estamos simplemente multiplicando unidades juntas, y viendo qué combinación nos da las unidades que necesitamos.
También puede generar la masa de Planck ([matemática] m_p = \ sqrt {\ frac {\ hbar c} {G}}) [/ matemática], carga de planck ([matemática] q_p = \ frac {e} {\ sqrt { \ alpha}} [/ math]) y la temperatura de Planck ([math] \ Theta = \ sqrt {\ frac {\ hbar c ^ 5} {G k_b ^ 2}} [/ math]) – de la que puede derivar ¡Todo, desde la aceleración hasta la potencia y el voltaje!
Las unidades de Planck se establecieron porque simplifican muchas de las ecuaciones más fundamentales: si escribe sus ecuaciones en unidades de Planck, puede eliminar muchas constantes físicas y no tener que preocuparse por las dimensiones.
La ley de gravitación de Newton se convierte en:
[matemáticas] F = \ frac {G m_1 m_2} {r ^ 2} \ mapsto F = \ frac {m_1 m_2} {r ^ 2} [/ matemáticas]
La equivalencia entre masa y energía se convierte en:
[matemática] E = mc ^ 2 \ mapsto E = m [/ matemática]
Y así sucesivamente y así sucesivamente. Este es un proceso llamado no dimensionalización [8], y a menudo se usa en física teórica, porque estas constantes multiplicativas son solo artefactos de nuestros sistemas de medición; en realidad no contienen ninguna información.
Entonces, ¿por qué persiste este mito?
Es cierto que varias personas han estimado que la escala de la longitud de Planck es aproximadamente el orden de magnitud alrededor del cual la estructura del espacio-tiempo se vuelve dominada por los efectos cuánticos, o aproximadamente la escala de la “espuma cuántica”.
Tenga en cuenta la frase “aproximadamente la escala de”.
La altura del cuerpo humano es aproximadamente de la escala de [matemáticas] 1 [/ matemáticas] m. Pero si alguien te dijera que todos los humanos tenían 1 m de altura, ¡los mirarías como si fueran locos!
También hay una cierta cantidad de arbitrariedad en la elección de las unidades base que usamos para construir las unidades de Planck; tenga en cuenta que usamos la constante de Planck reducida , [math] \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} [/ math ] No hay razón para no usar [matemáticas] h [/ matemáticas]: la diferencia es un factor (no dimensional) de [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas]. Lo mismo puede decirse del factor de [matemática] 4 \ pi [/ matemática] en la constante eléctrica.
Es difícil atribuir tanta importancia fundamental a una serie de unidades donde puedes multiplicar por [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas] y dejar el resultado sin cambios …
Entonces, ¿qué es verdad?
Algunas personas [9] han estimado que en la escala de [matemática] 10 ^ {- 35} [/ matemática] metros, cualquier intento adicional de sondear a una escala de menor longitud no tendrá ningún efecto (agregar más energía en su lugar creará micro negro agujeros, es una suposición).
Alguien entonces dijo “eh, eso es gracioso, ¿recuerdas esas unidades que ese tipo inventó hace 100 años? La longitud en esa unidad es aproximadamente [matemática] 10 ^ {- 35} [/ matemática] metros “.
Eso de alguna manera se transformó en “¡ OMG, la unidad de Planck es la unidad de espacio más pequeña posible!”
Entonces también he visto que esto se aplica al tiempo de Planck: la gente afirma que el tiempo de Planck es la unidad de tiempo más pequeña posible … lo cual no tiene sentido. No hay razón para afirmar eso.
También he visto la misma afirmación sobre la carga de Planck: que es la unidad de carga más pequeña posible. Excepto, [math] q_p = \ frac {e} {\ sqrt {\ alpha}} [/ math], donde [math] \ alpha \ approx \ frac {1} {137} [/ math]…. entonces la carga de electrones ( [math] -e [/ math] ) es varias veces menor que la carga de Planck! Es trivial mostrar que esta afirmación no tiene sentido.
Los puntos de bonificación van a la persona (que permanecerá sin nombre) que luego afirmó que ya que [math] l_p [/ math] y [math] t_p [/ math] son las escalas de tiempo y longitud más pequeñas, ya que la velocidad de la luz es [math ] c = \ frac {l_p} {t_p} [/ math], es por eso que la velocidad de la luz es invariante … quiero decir … guau.
Es cierto que estas escalas de tiempo y longitud son tan pequeñas que no tienen un significado físico para nosotros como humanos , pero por el momento, no hay evidencia para atribuirles ningún significado especial que no sea el que aparentemente es una coincidencia.
Entonces, a la pregunta: ¿hay algo más pequeño que una longitud de Planck?
Bueno, puedo darte un resultado físico que tiene un valor menor que la longitud de Planck.
En 1973, Jacob Bekenstein publicó un artículo donde mostró que el área de superficie de un agujero negro aumenta en [math] 1 A_p [/ math] por cada bit de información que cruza el horizonte de eventos [10]. [math] 1 A_p [/ math] es el Área de Planck, igual a [math] l_p ^ 2 [/ math].
El área de superficie de una esfera está dada por [math] 4 \ pi R ^ 2 [/ math].
Por lo tanto, la nueva área de superficie viene dada por [math] 4 \ pi R_ {new} ^ 2 = 4 \ pi R_ {old} ^ 2 + l_p ^ 2 [/ math]
Luego:
[math] R_ {new} = \ sqrt {R_ {old} ^ 2 + \ frac {l_p ^ 2} {4 \ pi}} [/ math]
Por lo tanto, el cambio en el radio viene dado por [math] \ delta R = R_ {new} – R_ {old} [/ math]
[matemáticas] \ delta R = R_ {antiguo} \ sqrt {1 + \ frac {l_p ^ 2} {4 \ pi R_ {antiguo} ^ 2}} – R_ {antiguo} [/ matemático]
Luego expandimos los corchetes (ya que [math] R_ {old} \ ggg l_p [/ math] para cualquier agujero negro), de modo que:
[matemática] \ delta R \ aprox. R_ {antigua} \ izquierda (1 + \ frac {l_p ^ 2} {8 \ pi R_ {antigua} ^ 2} \ derecha) – R_ {antigua} [/ matemática]
Por lo tanto:
[matemáticas] \ delta R \ aprox \ frac {l_p ^ 2} {8 \ pi R_ {edad}} \ ll l_p [/ matemáticas]
Por lo tanto, a través del resultado de Bekenstein, el cambio en el radio de un agujero negro cuando se agrega 1 bit de información es mucho menor que 1 longitud de Planck (dado que [math] R [/ math] para un agujero negro típico será del orden de miles de km – aproximadamente [matemáticas] 10 ^ {40} l_p [/ matemáticas])
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Notas al pie
[1] Anzeige
[2] https://physics.nist.gov/cgi-bin…
[3] Constante de gravitación newtoniana
[4] Constante de Planck sobre 2 pi
[5] constante eléctrica
[6] constante de Boltzmann
[7] La respuesta de Jack Fraser a ¿Por qué la energía de una partícula [matemática] \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemática]?
[8] No dimensionalización – Wikipedia
[9] http://www.nature.com/scientific…
[10] Agujeros negros y entropía