La “masa reducida” es un truco matemático que utilizamos para simplificar nuestras ecuaciones, reduciendo un problema (potencialmente difícil) de dos cuerpos a un problema simple de 1 cuerpo.
No hay nada inherente sobre cuándo lo usa: nunca podría usarlo si así lo desea, pero solo hará que algunos problemas sean increíblemente difíciles de resolver sin él.
Si considera un sistema electrón-protón (átomo de hidrógeno), podríamos describir el sistema en términos de la posición del protón [matemáticas] \ textbf {r} _p [/ matemáticas] y la posición del electrón [matemáticas] \ textbf {r} _e [/ math] en relación con algún sistema de coordenadas: a medida que el electrón se mueve, afecta la posición del protón y viceversa, y hacen un pequeño baile complicado. Debe tener en cuenta el movimiento de cada componente individual y la interacción entre los dos.
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- Si la luz no tiene masa, ¿cómo se puede impulsar una vela solar?
- ¿Por qué necesitamos usar masa reducida? ¿Cuál sería el problema si no lo usáramos?
- ¿El centro de gravedad de un objeto coincide con su centro de masa?
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El hamiltoniano de dicho sistema viene dado por:
[matemática] \ hat {\ mathcal {H}} = \ frac {\ hat {p} _p ^ 2} {2m_p} + \ frac {\ hat {p} _e ^ 2} {2m_e} – \ frac {e ^ 2} {4 \ pi \ epsilon_0 | \ hat {\ textbf {r} _p} – \ hat {\ textbf {r} _e} |} [/ math]
Pero [math] \ hat {r} _p [/ math] afecta [math] \ hat {p} _e [/ math] y viceversa, y no olvides el [math] \ hat {r} [/ math] s dependen de las [matemáticas] \ hat {p} [/ matemáticas] s!
Es un gran desastre. Absolutamente horrible de resolver.
Sin embargo, si entra en coordenadas relativas y describe la posición de los electrones simplemente con respecto al protón, ¡entonces las matemáticas se simplificaron enormemente! En este marco, el protón es estacionario, por lo que solo nos importa el movimiento de los electrones, si conecta las matemáticas:
[matemáticas] \ hat {\ mathcal {H}} = \ frac {\ hat {p} ^ 2} {2 \ mu} – \ frac {e ^ 2} {4 \ pi \ epsilon_0 \ hat {r}} [ /matemáticas]
Donde [math] \ mu [/ math] es la masa relativa [math] \ mu = \ frac {m_em_p} {m_e + m_p} [/ math]
¡Esto es mucho más fácil de resolver! Quiero decir, todavía es un dolor, pero en realidad se puede hacer.
Para un sistema de electrones / protones, un protón es mucho más pesado que un electrón que [math] \ mu \ approx m_e [/ math], por lo que puede ignorar la masa relativa en su mayor parte.
Sin embargo, moverse a coordenadas relativas simplificó el problema cien veces.
La masa reducida no es una “cosa física”, existe únicamente en una hoja de trabajo de físicos mientras se resuelve un problema, es una de las herramientas de nuestro arsenal.